引言
2017年全国卷3数学真题是广大高考考生关注的焦点，其中不乏一些极具挑战性的难题。本文将针对这些难题进行深入解析，并提供相应的解题技巧，帮助读者更好地理解和掌握这些数学知识点。
一、选择题解析与技巧
1. 难题一：函数与导数
题目：已知函数\(f(x) = x^3 - 3x + 1\)，求\(f'(x)\)的零点。
解析：
要求函数$f(x)$的导数，我们可以直接应用求导法则：
\[ f'(x) = 3x^2 - 3 \]
令$f'(x) = 0$，得：
\[ 3x^2 - 3 = 0 \]
\[ x^2 = 1 \]
\[ x = \pm 1 \]
因此，$f'(x)$的零点为$x = -1$和$x = 1$。
解题技巧：
- 熟练掌握基本求导法则；
- 注意符号运算；
- 运用因式分解等代数技巧简化问题。
2. 难题二：数列与极限
题目：已知数列\(\{a_n\}\)，其中\(a_1 = 1\)，且\(\frac{a_{n+1}}{a_n} = 2n + 1\)，求\(\lim_{n \to \infty} a_n\)。
解析：
根据递推公式，我们可以推导出：
\[ a_2 = 3a_1 = 3 \]
\[ a_3 = 5a_2 = 15 \]
以此类推，我们发现$a_n = (2n - 1) \times 2^{n-2}$。接下来，我们求极限：
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} (2n - 1) \times 2^{n-2} \]
当$n$趋向于无穷大时，$2^{n-2}$的增长速度远大于$(2n - 1)$，因此：
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = \infty \]
解题技巧：
- 利用递推公式进行推导；
- 运用极限的基本性质；
- 注意数列极限与无穷大的关系。
二、填空题解析与技巧
1. 难题三：平面几何与三角函数
题目：在平面直角坐标系中，已知点A(2,3)，点B(-2,-3)，求直线AB的斜率。
解析：
直线AB的斜率$k$可以通过两点式求得：
\[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-3 - 3}{-2 - 2} = \frac{-6}{-4} = \frac{3}{2} \]
解题技巧：
- 熟练掌握两点式计算斜率的方法；
- 注意符号运算。
2. 难题四：解析几何与不等式
题目：设点P(m,n)在椭圆\(\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1\)上，求\(m + n\)的最大值。
解析：
将点P的坐标代入椭圆方程，得：
\[ \frac{m^2}{4} + \frac{n^2}{9} = 1 \]
\[ m^2 = 4 - \frac{4}{9}n^2 \]
因为$m^2 \geq 0$，所以：
\[ n^2 \leq 9 \]
\[ -3 \leq n \leq 3 \]
\[ m + n \leq \sqrt{4} + 3 = 7 \]
当$n = 3$时，$m = \sqrt{4 - \frac{4}{9} \times 9} = 2$，此时$m + n = 5$为最大值。
解题技巧：
- 熟练掌握解析几何与椭圆的性质；
- 运用不等式进行求解。
三、解答题解析与技巧
1. 难题五：概率统计与函数
题目：从1，2，3，4，5，6，7中随机取出三个数，求这三个数能组成一个等差数列的概率。
解析：
总共有$C_7^3$种取法，其中等差数列的取法有$C_3^1$种。因此，概率为：
\[ P = \frac{C_3^1}{C_7^3} = \frac{3}{35} \]
解题技巧：
- 熟练掌握组合数的计算方法；
- 运用概率论的基本知识。
2. 难题六：立体几何与解析几何
题目：已知三棱锥\(A-BCD\)的底面\(BCD\)为等边三角形，顶点\(A\)到平面\(BCD\)的距离为\(h\)，求三棱锥\(A-BCD\)的体积。
解析：
三棱锥$A-BCD$的体积公式为：
\[ V = \frac{1}{3} \times S_{\triangle BCD} \times h \]
其中，$\triangle BCD$的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4} \times (BC)^2$。因为$BCD$为等边三角形，所以$BC = 2$，代入公式得：
\[ V = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times 2^2 \times h = \frac{\sqrt{3}}{3} \times h \]
解题技巧：
- 熟练掌握立体几何的体积计算方法；
- 运用解析几何进行推导。