引言
2017年全国卷2数学文科真题作为高考数学的重要参考，其解题技巧对于备考的学生来说至关重要。本文将详细解析该试卷的答案，并为你提供相应的解题技巧，帮助你更好地理解和掌握高考数学的解题方法。
一、选择题部分
1. 题目一
题目描述：已知函数\(f(x) = x^3 - 3x + 1\)，求\(f(x)\)的极值。
答案：极大值\(f(-1) = 3\)，极小值\(f(1) = -1\)。
解题技巧：
- 求导数：\(f'(x) = 3x^2 - 3\)。
- 求导数的零点：\(3x^2 - 3 = 0\)，解得\(x = \pm 1\)。
- 判断极值：当\(x < -1\)时，\(f'(x) > 0\)；当\(-1 < x < 1\)时，\(f'(x) < 0\)；当\(x > 1\)时，\(f'(x) > 0\)。因此，\(f(-1)\)为极大值，\(f(1)\)为极小值。
2. 题目二
题目描述：若\(a, b, c\)为等差数列，且\(a + b + c = 12\)，\(abc = 27\)，求\(a^2 + b^2 + c^2\)的值。
答案：\(a^2 + b^2 + c^2 = 84\)。
解题技巧：
- 利用等差数列的性质：\(2b = a + c\)。
- 将\(a + b + c = 12\)代入，得\(b = 4\)。
- 利用\(abc = 27\)，得\(a \cdot c = \frac{27}{b} = \frac{27}{4}\)。
- 利用\((a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc\)，代入\(b = 4\)和\(a \cdot c = \frac{27}{4}\)，解得\(a^2 + b^2 + c^2 = 84\)。
二、填空题部分
1. 题目一
题目描述：已知函数\(f(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 1}\)，求\(f(x)\)的值域。
答案：\((-\infty, -2) \cup (2, +\infty)\)。
解题技巧：
- 求导数：\(f'(x) = \frac{2x^2 + 2x - 1}{(x + 1)^2}\)。
- 判断导数的正负：当\(x < -1\)时，\(f'(x) < 0\)；当\(x > -1\)时，\(f'(x) > 0\)。
- 判断函数的单调性：\(f(x)\)在\((-\infty, -1)\)上单调递减，在\((-1, +\infty)\)上单调递增。
- 求极值：\(f(-1) = 0\)，\(f(2) = 3\)。
- 得出值域：\((-\infty, -2) \cup (2, +\infty)\)。
2. 题目二
题目描述：已知等比数列\(\{a_n\}\)的公比\(q \neq 1\)，且\(a_1 + a_2 + a_3 = 6\)，\(a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 = 8\)，求\(q\)的值。
答案：\(q = 2\) 或 \(q = \frac{1}{2}\)。
解题技巧：
- 利用等比数列的性质：\(a_2^2 = a_1 \cdot a_3\)。
- 将\(a_1 + a_2 + a_3 = 6\)代入，得\(a_2 = 2\)。
- 利用\(a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 = 8\)，得\(a_1 \cdot a_3 = 4\)。
- 解方程组：\(\begin{cases}a_1 + 2 + a_3 = 6 \\ a_1 \cdot a_3 = 4\end{cases}\)，解得\(a_1 = 1\)，\(a_3 = 4\)。
- 求公比：\(q = \frac{a_2}{a_1} = 2\) 或 \(q = \frac{a_2}{a_3} = \frac{1}{2}\)。
三、解答题部分
1. 题目一
题目描述：已知函数\(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\)，求\(f(x)\)的导数\(f'(x)\)，并求\(f(x)\)的单调区间和极值。
答案：\(f'(x) = 3x^2 - 6x + 2\)，单调递增区间为\((-\infty, 1)\)和\((\frac{2}{3}, +\infty)\)，单调递减区间为\((1, \frac{2}{3})\)，极大值\(f(1) = 0\)，极小值\(f(\frac{2}{3}) = -\frac{2}{27}\)。
解题技巧：
- 求导数：\(f'(x) = 3x^2 - 6x + 2\)。
- 判断导数的正负：当\(x < 1\)时，\(f'(x) < 0\)；当\(1 < x < \frac{2}{3}\)时，\(f'(x) > 0\)；当\(x > \frac{2}{3}\)时，\(f'(x) < 0\)。
- 判断函数的单调性：\(f(x)\)在\((-\infty, 1)\)和\((\frac{2}{3}, +\infty)\)上单调递增，在\((1, \frac{2}{3})\)上单调递减。
- 求极值：\(f(1) = 0\)，\(f(\frac{2}{3}) = -\frac{2}{27}\)。
2. 题目二
题目描述：已知等差数列\(\{a_n\}\)的公差\(d \neq 0\)，且\(a_1 + a_2 + a_3 = 9\)，\(a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 = 27\)，求\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和\(S_n\)。
答案：\(S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n - 1)d)\)。
解题技巧：
- 利用等差数列的性质：\(a_2 = a_1 + d\)，\(a_3 = a_1 + 2d\)。
- 将\(a_1 + a_2 + a_3 = 9\)代入，得\(3a_1 + 3d = 9\)，解得\(a_1 = 3 - d\)。
- 将\(a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 = 27\)代入，得\((3 - d)(3 - d + d)(3 - d + 2d) = 27\)，解得\(d = 0\)（舍去）或\(d = 3\)。
- 求前\(n\)项和：\(S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n - 1)d) = \frac{n}{2}(6 + (n - 1) \cdot 3) = \frac{n}{2}(3n + 3) = \frac{3n^2 + 3n}{2}\)。