揭秘2017全国卷1数学文科真题答案解析与解题技巧

一、试卷概述

2017年全国卷1数学文科试卷分为选择题、填空题和解答题三个部分，涵盖了代数、几何、三角函数、概率统计等数学基础知识和应用。本解析将从各个部分选取典型题目进行详细解答，并分享解题技巧。

题目：已知函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，若$f(1) = 2$，$f(2) = 5$，$f(3) = 10$，则$a+b+c$的值为多少？

解析：

首先，根据题目条件列出方程组： $$ \begin{cases} a + b + c = 2 \\ 4a + 2b + c = 5 \\ 9a + 3b + c = 10 \end{cases} $$

通过解方程组，得到$a = 1$，$b = 0$，$c = 1$。因此，$a+b+c = 2$。

解题技巧：利用方程组求解，注意方程的构造和求解方法。

题目：在平面直角坐标系中，点$A(1,2)$关于直线$y=x$的对称点为$B$，则$B$的坐标为：

解析：

点$A(1,2)$关于直线$y=x$的对称点$B$的坐标可以通过以下方法求得：

求直线$y=x$的斜率：$k = 1$。
求直线$y=x$的截距：$b = 0$。
求直线$y=x$的方程：$y = x$。
求点$A$到直线$y=x$的距离：$d = \frac{|1 \times 1 - 2 \times 2|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{3}{\sqrt{5}}$。
根据对称性，点$B$到直线$y=x$的距离也为$\frac{3}{\sqrt{5}}$，且在直线$y=x$的另一侧。
求点$B$的坐标：$B(\frac{3}{\sqrt{5}}, \frac{3}{\sqrt{5}})$。

解题技巧：利用对称性求解，注意坐标系的运用。

题目：若函数$f(x) = \frac{x}{x-1}$的导数为$f'(x)$，则$f'(1)$的值为多少？

解析：

首先，求函数$f(x)$的导数： $$ f'(x) = \frac{(x-1) \cdot 1 - x \cdot 1}{(x-1)^2} = -\frac{1}{(x-1)^2} $$

然后，代入$x=1$，得到$f'(1) = -1$。

解题技巧：利用求导公式求解，注意导数的定义和计算。

题目：在等差数列$\{a_n\}$中，若$a_1 = 2$，$a_5 = 10$，则公差$d$为多少？

解析：

由等差数列的性质，得到： $$ a_5 = a_1 + 4d $$

代入已知条件，得到$10 = 2 + 4d$，解得$d = 2$。

解题技巧：利用等差数列的性质求解，注意公差的定义和计算。

题目：已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$，求$f(x)$的单调区间。

解析：

首先，求函数$f(x)$的导数： $$ f'(x) = 3x^2 - 6x + 4 $$

然后，求导数的零点： $$ 3x^2 - 6x + 4 = 0 $$

通过求根公式，得到$x_1 = 1$，$x_2 = \frac{2}{3}$。

接下来，分析导数的符号：

因此，$f(x)$的单调递增区间为$(-\infty, \frac{2}{3})$和$(1, +\infty)$，单调递减区间为$(\frac{2}{3}, 1)$。

解题技巧：利用导数求解，注意导数的定义和计算。

题目：已知函数$f(x) = \frac{x}{x-1}$，求$f(x)$的极值。

解析：

首先，求函数$f(x)$的导数： $$ f'(x) = -\frac{1}{(x-1)^2} $$

然后，求导数的零点： $$ -\frac{1}{(x-1)^2} = 0 $$

由于分母不为零，导数不存在零点。因此，$f(x)$不存在极值。

解题技巧：利用导数求解，注意导数的定义和计算。

本文对2017年全国卷1数学文科真题进行了详细的解析，并分享了相应的解题技巧。希望这些解析和技巧能够帮助读者更好地理解和掌握数学知识。