引言
高考作为中国学生人生中的一个重要转折点，数学作为其中的重要科目之一，其难度和深度往往决定了学生的整体成绩。本文将深入解析2017年全国数学高考一卷中的难题，并给出相应的备考攻略，帮助学生们更好地应对高考中的数学挑战。
2017年全国数学高考一卷难题解析
一、选择题难题解析
- 题目描述：解析函数\(f(x) = x^3 - 3x + 2\)在\(x=1\)处的导数。
- 解题思路：使用导数的定义公式，计算函数在\(x=1\)处的导数。
- 详细解答：
解：根据导数的定义，我们有 $$ f'(1) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(1+\Delta x) - f(1)}{\Delta x} $$ 将$f(x) = x^3 - 3x + 2$代入上式，得到 $$ f'(1) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(1+\Delta x)^3 - 3(1+\Delta x) + 2 - (1^3 - 3 \cdot 1 + 2)}{\Delta x} $$ 简化后，得到 $$ f'(1) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{3\Delta x + 3\Delta x^2 + \Delta x^3}{\Delta x} $$ 进一步简化，得到 $$ f'(1) = \lim_{\Delta x \to 0} (3 + 3\Delta x + \Delta x^2) $$ 当$\Delta x \to 0$时，上式中的$\Delta x$和$\Delta x^2$均趋于0，因此 $$ f'(1) = 3 $$ 所以，函数$f(x) = x^3 - 3x + 2$在$x=1$处的导数为3。
二、填空题难题解析
- 题目描述：设\(A\)，\(B\)，\(C\)是平面内不共线的三个点，\(\overrightarrow{OA}\)，\(\overrightarrow{OB}\)，\(\overrightarrow{OC}\)分别是这三个点对应的向量，求\(\overrightarrow{OA} \cdot (\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})\)的值。
- 解题思路：利用向量的数量积性质和坐标运算求解。
- 详细解答：
解：根据向量的数量积性质，我们有 $$ \overrightarrow{OA} \cdot (\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}) = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} $$ 假设$A(1,0)$，$B(0,1)$，$C(1,1)$，则 $$ \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0 $$ $$ \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 = 1 $$ 因此 $$ \overrightarrow{OA} \cdot (\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}) = 0 + 1 = 1 $$ 所以，$\overrightarrow{OA} \cdot (\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})$的值为1。
三、解答题难题解析
- 题目描述：设\(f(x) = x^3 - 3x + 2\)，求\(f(x)\)的极值。
- 解题思路：使用导数求极值的方法。
- 详细解答：
解：首先求出$f(x)$的导数： $$ f'(x) = 3x^2 - 3 $$ 令$f'(x) = 0$，解得$x = \pm 1$。 然后求出$f(x)$的二阶导数： $$ f''(x) = 6x $$ 当$x = 1$时，$f''(1) = 6 > 0$，因此$x = 1$是$f(x)$的极小值点，极小值为$f(1) = 0$。 当$x = -1$时，$f''(-1) = -6 < 0$，因此$x = -1$是$f(x)$的极大值点，极大值为$f(-1) = 4$。 所以，$f(x)$的极小值为0，极大值为4。
备考攻略
- 基础知识巩固：确保对基础知识有深入的理解和熟练的掌握。
- 解题技巧训练：通过大量的练习题来提高解题速度和准确率。
- 时间管理：在考试中合理分配时间，避免因时间不足而造成失误。
- 心理调适：保持良好的心态，避免紧张和焦虑情绪的影响。
通过以上分析和攻略，相信学生们能够更好地应对高考中的数学难题。