揭秘2017年数学全国卷：难题解析与学习策略全攻略

引言

2017年数学全国卷作为高考数学的重要参考，其难度和题型一直备受考生和教师关注。本文将深入解析2017年数学全国卷中的难题，并提供相应的学习策略，帮助考生在备考过程中更好地应对类似题型。

一、难题解析

1. 难题一：函数与导数

题目描述：已知函数( f(x) = \frac{ax+b}{cx+d} )，其中( a, b, c, d )为实数，且( ad-bc \neq 0 )。若( f(x) )在( x=1 )处取得极值，求( a, b, c, d )的值。

解析：

首先求出( f(x) )的导数( f’(x) )。
然后根据( f’(1) = 0 )求出( a, b, c, d )之间的关系。
最后结合( f(x) )在( x=1 )处取得极值的条件，求出( a, b, c, d )的具体值。

代码示例：

from sympy import symbols, diff, solve

x = symbols('x')
a, b, c, d = symbols('a b c d')

f = (a*x + b)/(c*x + d)
f_prime = diff(f, x)

# 求导数为0时的条件
solve(f_prime, x)

2. 难题二：数列与不等式

题目描述：已知数列( {a_n} )满足( a1 = 1 )，( a{n+1} = \sqrt{an^2 + 2} )，求( \lim{n \to \infty} \frac{a_n}{n} )。

解析：

首先证明数列( {a_n} )单调递增。
然后利用夹逼准则求出( \lim_{n \to \infty} a_n )。
最后利用洛必达法则求出( \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} )。

3. 难题三：立体几何与解析几何

题目描述：已知正方体( ABCD-A_1B_1C_1D_1 )的棱长为( a )，点( P )在平面( ABB_1A_1 )上，且( PA = PB = PA_1 )，求( \triangle APB )的面积。

解析：

利用向量法求出( \overrightarrow{PA}, \overrightarrow{PB}, \overrightarrow{PA_1} )。
然后利用向量的数量积求出( \cos \angle APB )。
最后利用正弦定理求出( \triangle APB )的面积。

二、学习策略

1. 理解基本概念

对于数学难题，首先要确保对基本概念有深入的理解。例如，在解决函数与导数问题时，要清楚极值、导数等概念。

2. 掌握解题方法

针对不同类型的题目，要掌握相应的解题方法。例如，对于数列问题，要熟悉夹逼准则、洛必达法则等。

3. 练习与应用

通过大量的练习，提高解题速度和准确性。同时，将所学知识应用于实际问题中，加深对知识的理解。

4. 分析与总结

在解题过程中，要善于分析问题，总结解题思路和方法。对于错题，要找出错误原因，避免类似错误再次发生。