引言

2017年数学天津卷作为高考数学的重要试卷之一，其题型和解题思路对于考生来说具有很高的参考价值。本文将详细解析该试卷中的典型题目，并提供相应的解题技巧，帮助考生更好地理解和掌握高考数学的解题方法。

一、试卷概述

2017年数学天津卷共分为两部分，第一部分为选择题，第二部分为填空题和解答题。试卷涵盖了函数、数列、立体几何、解析几何、概率统计等数学基础知识点。

二、典型题目解析与解题技巧

1. 函数题目解析与解题技巧

题目示例：已知函数\(f(x)=\frac{1}{x}-\ln(x)\)，求函数的最小值。

解题步骤：

  1. 求导：\(f'(x)=-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}\)。
  2. 求导数为0的点：\(-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}=0\)，解得\(x=-1\)。
  3. 判断极值：当\(x\in(-\infty,-1)\)时，\(f'(x)>0\)；当\(x\in(-1,+\infty)\)时，\(f'(x)<0\)。因此，\(x=-1\)为函数的极大值点，同时也是最小值点。
  4. 计算最小值：\(f(-1)=\frac{1}{-1}-\ln(-1)=1\)。

解题技巧：

  • 熟练掌握函数的求导方法。
  • 能根据导数的符号判断函数的单调性。
  • 学会利用导数求函数的最值。

2. 数列题目解析与解题技巧

题目示例：已知数列\(\{a_n\}\)的通项公式为\(a_n=\frac{1}{2^n-1}\)，求\(\lim_{n\to\infty}a_n\)。

解题步骤：

  1. 求通项公式的极限：\(\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2^n-1}\)。
  2. 利用指数函数的性质：\(\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2^n-1}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2^n}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{2^n}}\)。
  3. 判断极限：\(\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2^n}=0\)，\(\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1-\frac{1}{2^n}}=1\)。
  4. 计算极限：\(\lim_{n\to\infty}a_n=0\cdot1=0\)。

解题技巧：

  • 熟练掌握数列极限的计算方法。
  • 学会利用指数函数的性质简化数列极限的计算。

3. 立体几何题目解析与解题技巧

题目示例：已知正方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)，\(E\)为\(A_1C\)的中点，\(F\)为\(C_1D_1\)的中点，求\(EF\)的长度。

解题步骤：

  1. 利用正方体的性质，连接\(AE\)、\(AF\)。
  2. 由于\(AE=AF\)，且\(E\)、\(F\)分别为\(A_1C\)、\(C_1D_1\)的中点，所以\(EF\)为\(\triangle A_1AC\)的中位线。
  3. 利用勾股定理计算\(EF\)的长度：\(EF=\frac{1}{2}\sqrt{AA_1^2+AC^2}\)。
  4. 根据正方体的边长计算\(EF\)的长度。

解题技巧：

  • 熟练掌握正方体的性质。
  • 学会利用勾股定理计算线段长度。
  • 学会利用中位线求解线段长度。

4. 解析几何题目解析与解题技巧

题目示例：已知椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，求过椭圆焦点的直线方程。

解题步骤：

  1. 求椭圆的焦点坐标：\(F_1(-c,0)\)，\(F_2(c,0)\)，其中\(c=\sqrt{a^2-b^2}\)。
  2. 设过焦点的直线方程为\(y=kx+b\)。
  3. 将焦点坐标代入直线方程，得到两个方程：\(b=\pm ka\)。
  4. 解得直线方程为\(y=\pm\frac{a}{k}x\)。

解题技巧：

  • 熟练掌握椭圆的性质。
  • 学会根据焦点坐标求解直线方程。

5. 概率统计题目解析与解题技巧

题目示例：已知某班级男生人数为\(10\)人，女生人数为\(20\)人，从该班级中随机抽取\(3\)名学生，求抽到\(2\)名男生和\(1\)名女生的概率。

解题步骤：

  1. 计算所有可能的抽取方法：\(C_{30}^3\)。
  2. 计算抽到\(2\)名男生和\(1\)名女生的方法数：\(C_{10}^2\cdot C_{20}^1\)。
  3. 计算概率：\(\frac{C_{10}^2\cdot C_{20}^1}{C_{30}^3}\)。

解题技巧：

  • 熟练掌握组合数的计算方法。
  • 学会根据概率公式求解概率问题。

三、总结

通过以上对2017年数学天津卷的典型题目解析与解题技巧的介绍，希望考生能够更好地掌握高考数学的解题方法，提高自己的数学水平。在今后的学习中，要注重基础知识的学习，熟练掌握各种解题技巧，才能在考试中取得优异的成绩。