引言
高考作为我国选拔优秀高中毕业生的重要方式，每年都吸引着无数学生的关注。数学作为高考的重要组成部分，其难度和深度往往决定了考生的整体成绩。本文将针对2019年高考全国卷3数学中的难题进行解析，并给出相应的备考策略。
一、难题解析
1. 难题一：解析几何问题
题目回顾：给定椭圆 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)，直线 \(y = kx + m\) 与椭圆相交于点 \(A\) 和 \(B\)，若 \(A\)、\(B\) 关于 \(x\) 轴对称，求 \(k\) 和 \(m\) 的值。
解题思路：
- 利用椭圆的标准方程和直线的斜率，列出方程组。
- 根据对称性，得到 \(A\) 和 \(B\) 的坐标关系。
- 求解方程组，得到 \(k\) 和 \(m\) 的值。
详细解答：
from sympy import symbols, Eq, solve
x, y, a, b, k, m = symbols('x y a b k m')
# 椭圆方程
ellipse_eq = Eq(x**2 / a**2 + y**2 / b**2, 1)
# 直线方程
line_eq = Eq(y, k*x + m)
# 解方程组
solution = solve([ellipse_eq, line_eq], (x, y))
# 由于A和B关于x轴对称，所以y坐标相等，即solution[0][1] = solution[1][1]
m_value = solve(Eq(solution[0][1], solution[1][1]), m)[0]
k_value = solve(Eq(line_eq.subs(y, solution[0][1]).subs(m, m_value), 0), k)[0]
k_value, m_value
2. 难题二：概率问题
题目回顾：甲、乙两人进行乒乓球比赛，甲胜的概率为 \(p\)，乙胜的概率为 \(1-p\)。比赛进行 \(n\) 局，甲胜 \(k\) 局，求甲胜的概率。
解题思路：
- 利用二项分布公式，计算甲胜的概率。
- 根据题意，得到概率表达式。
- 利用概率公式进行计算。
详细解答：
from sympy import binomial, simplify
n, k, p = symbols('n k p')
# 计算甲胜的概率
prob = binomial(n, k) * (p**k) * ((1-p)**(n-k))
simplify(prob)
3. 难题三：数列问题
题目回顾：已知数列 \(\{a_n\}\) 满足 \(a_1 = 1\)，\(a_{n+1} = a_n^2 - a_n + 1\)，求 \(\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{a_{n-1}}\)。
解题思路：
- 利用数列的定义，求出数列的前几项。
- 利用递推关系，推导出数列的通项公式。
- 利用极限的定义，求解数列的极限。
详细解答：
from sympy import limit, simplify
a = symbols('a')
n = symbols('n', integer=True)
# 定义数列
a_1 = 1
a_2 = a_1**2 - a_1 + 1
a_3 = a_2**2 - a_2 + 1
# 递推关系
def a_n(n):
if n == 1:
return a_1
else:
return a_n(n-1)**2 - a_n(n-1) + 1
# 求极限
limit_value = limit(a_n(n) / a_n(n-1), n, oo)
simplify(limit_value)
二、备考策略
1. 熟练掌握基础知识
数学考试注重考查学生对基础知识的掌握程度，因此备考过程中要重视基础知识的学习和巩固。
2. 注重解题技巧的培养
数学考试中，解题技巧至关重要。考生要学会分析题目的类型，掌握解题思路，提高解题速度和准确率。
3. 做好模拟试题
模拟试题是检验复习效果的重要手段。考生可以通过做模拟试题，了解自己的薄弱环节，有针对性地进行复习。
4. 保持良好的心态
高考是一场心理战，考生要保持良好的心态，相信自己，以积极的态度迎接挑战。
结语
2019年高考全国卷3数学中的难题具有一定的难度，但只要掌握正确的解题方法和备考策略，相信广大考生一定能够取得优异的成绩。