引言
高考作为中国最重要的升学考试，其数学部分的难度一直是考生关注的焦点。2019年高考数学试卷中，一卷的难度和深度给众多考生带来了挑战。本文将针对2019年高考数学一卷的难题进行详细解析，旨在帮助考生掌握解题技巧，提升数学能力。
一、2019年高考数学一卷概述
2019年高考数学一卷共分为选择题、填空题和解答题三个部分，涵盖了函数、几何、概率统计等数学基础知识。其中，解答题部分难度较大，涉及多个知识点和综合能力的考查。
二、难题解析与解题技巧
1. 选择题解析与技巧
难题一：函数问题
题目回顾：
函数\(f(x)=x^3-3x^2+4x+2\)的图像在实数轴上有几个不同的零点？
解题过程：
- 求导数：\(f'(x)=3x^2-6x+4\)。
- 求导数的零点：令\(f'(x)=0\)，解得\(x_1=1\)，\(x_2=\frac{2}{3}\)。
- 判断零点个数：由\(f'(x)\)的符号变化，可知\(f(x)\)在\(x_1\)和\(x_2\)之间有极大值和极小值，故\(f(x)\)在实数轴上有三个不同的零点。
解题技巧：
- 熟练掌握导数的应用，能够根据导数的符号判断函数的单调性。
- 运用导数的零点判断函数零点的个数。
难题二：几何问题
题目回顾：
在直角坐标系中，点\(A(2,0)\)，\(B(0,2)\)，点\(P\)在直线\(y=x\)上，且\(\triangle ABP\)的面积为\(2\)，求点\(P\)的坐标。
解题过程：
- 设点\(P\)的坐标为\((x,x)\)。
- 根据三角形面积公式：\(\frac{1}{2} \cdot AB \cdot d = 2\)，其中\(d\)为点\(P\)到直线\(AB\)的距离。
- 计算点\(P\)到直线\(AB\)的距离：\(d=\frac{|2x-x|}{\sqrt{2}}=\frac{|x|}{\sqrt{2}}\)。
- 解方程：\(\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{|x|}{\sqrt{2}} = 2\)，解得\(x=\pm\sqrt{2}\)。
- 得到点\(P\)的坐标：\((\sqrt{2},\sqrt{2})\)或\((-\sqrt{2},-\sqrt{2})\)。
解题技巧：
- 熟练掌握三角形面积公式。
- 利用坐标法解决几何问题。
2. 填空题解析与技巧
难题三：概率统计问题
题目回顾：
设\(X\)是连续型随机变量，其概率密度函数\(f(x)\)为：
\[ f(x) = \begin{cases} 2x, & 0 \leq x \leq 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} \]
求\(P(X > \frac{1}{2})\)。
解题过程：
- 计算\(P(X > \frac{1}{2})\)：\(P(X > \frac{1}{2}) = 1 - P(X \leq \frac{1}{2})\)。
- 计算\(P(X \leq \frac{1}{2})\)：\(P(X \leq \frac{1}{2}) = \int_0^{\frac{1}{2}} 2x \, dx = \frac{1}{4}\)。
- 得到\(P(X > \frac{1}{2})\)的值：\(P(X > \frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\)。
解题技巧：
- 熟练掌握连续型随机变量的概率密度函数。
- 利用积分求解概率。
3. 解答题解析与技巧
难题四：函数与不等式问题
题目回顾：
设函数\(f(x)=x^3-3x^2+4x+2\)，求\(f(x)\)在实数轴上的最大值和最小值。
解题过程：
- 求导数：\(f'(x)=3x^2-6x+4\)。
- 求导数的零点：令\(f'(x)=0\)，解得\(x_1=1\)，\(x_2=\frac{2}{3}\)。
- 判断\(f(x)\)的单调性：\(f(x)\)在\(x_1\)和\(x_2\)之间有极大值和极小值。
- 计算\(f(x)\)的极值：\(f(1)=4\)，\(f(\frac{2}{3})=\frac{16}{27}\)。
- 得到\(f(x)\)的最大值和最小值：最大值为\(4\)，最小值为\(\frac{16}{27}\)。
解题技巧：
- 熟练掌握导数的应用，能够根据导数的符号判断函数的单调性。
- 运用导数的零点判断函数极值。
总结
通过对2019年高考数学一卷难题的解析，我们总结出以下解题技巧：
- 熟练掌握各个知识点的概念和公式。
- 运用数学思想和方法解决实际问题。
- 注重解题过程中的逻辑性和准确性。
- 善于总结和归纳，提高解题速度和准确率。
希望本文的解析能够帮助考生在未来的高考中取得优异成绩。