引言

高考数学作为衡量学生数学能力的重要标准，每年都会出现一些难度较高的题目，这些题目不仅考验学生的数学知识，还考验他们的解题技巧和心理素质。2017年的高考数学试卷中，有几道题目尤其受到考生和教师的关注。本文将针对这些难题进行解析，并从中总结出一些启示。

难题解析

题目一：圆锥曲线综合题

题目描述：给定一个椭圆，求经过椭圆上的两点且与椭圆相切的直线方程。

解题思路：

  1. 利用椭圆的定义和性质，建立方程组。
  2. 利用切线的性质，建立切线方程。
  3. 解方程组，得到切线方程。

解析： 首先，设椭圆方程为 (\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1)，其中 (a) 和 (b) 分别为椭圆的半长轴和半短轴。 设椭圆上的两点为 (A(x_1, y_1)) 和 (B(x_2, y_2))，则这两点的坐标满足椭圆方程。 设切线方程为 (y = kx + m)，其中 (k) 为斜率，(m) 为截距。 由于切线与椭圆相切，所以切线方程与椭圆方程联立后只有一个解。 通过求解方程组，可以得到切线方程。

代码示例：

import sympy as sp

# 定义变量
x, y, k, m = sp.symbols('x y k m')
a, b = 2, 1  # 椭圆的半长轴和半短轴

# 椭圆方程
ellipse_eq = sp.Eq(x**2/a**2 + y**2/b**2, 1)

# 切线方程
tangent_eq = sp.Eq(y, k*x + m)

# 联立方程组
solution = sp.solve([ellipse_eq, tangent_eq], (x, y))

# 输出切线方程
tangent_equation = sp.Eq(y, k*solution[x]*x + m)
tangent_equation

题目二：数列求和问题

题目描述：给定一个数列 ({a_n})，其中 (a1 = 1)，(a{n+1} = a_n + \sqrt{an^2 + 2})，求 (\sum{n=1}^{2017} a_n)。

解题思路：

  1. 利用数列的递推关系，求出数列的前几项。
  2. 观察数列的性质，尝试寻找通项公式。
  3. 利用通项公式求和。

解析： 首先，根据递推关系，可以求出数列的前几项： (a_1 = 1) (a_2 = a_1 + \sqrt{a_1^2 + 2} = 1 + \sqrt{1 + 2} = 2) (a_3 = a_2 + \sqrt{a2^2 + 2} = 2 + \sqrt{4 + 2} = 3) … 可以观察到，数列的每一项都是整数，且递推关系可以简化为 (a{n+1} = a_n + 1)。 因此，数列的通项公式为 (an = n)。 利用通项公式求和，可以得到： (\sum{n=1}^{2017} an = \sum{n=1}^{2017} n = \frac{2017 \times (2017 + 1)}{2} = 2037216)

启示

通过以上两道难题的解析，我们可以得到以下启示：

  1. 数学问题的解决需要多方面的知识和技能。在解决数学问题时，我们需要灵活运用各种数学知识和方法，同时还需要具备良好的逻辑思维能力。

  2. 解题思路的重要性。在解决数学问题时，找到合适的解题思路至关重要。有时候，一个巧妙的方法可以让我们轻松解决看似复杂的问题。

  3. 数学问题具有普遍性。虽然高考数学题目具有一定的难度，但这些问题在现实生活中也具有一定的应用价值。通过解决这些题目，我们可以提高自己的数学素养和解决问题的能力。

总之，高考数学的难题不仅是对学生数学能力的考验，也是对教师教学水平的检验。通过解析这些难题，我们可以更好地了解数学的本质，提高自己的数学素养。