引言

高考作为我国选拔优秀人才的重要途径，数学科目一直是考生和家长关注的焦点。2017年高考数学理科试卷中，不乏一些具有挑战性的难题，这些题目不仅考察了学生的基础知识，还考验了他们的思维能力和解题技巧。本文将深入解析2017年高考全国数学理科难题，并提供相应的备考攻略，帮助考生在未来的考试中取得优异成绩。

一、2017年高考全国数学理科难题解析

1. 难题一：解析几何问题

题目回顾：已知椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）的一个焦点为F，直线\(y=kx\)与椭圆相交于A、B两点，且\(\angle AFB=90^\circ\)，求实数k的值。

解题思路：利用椭圆的定义和解析几何知识，结合向量运算，构造方程求解。

详细解析：

  1. 求出椭圆的焦点坐标F（c,0）。
  2. 根据直线\(y=kx\)，求出交点A、B的坐标。
  3. 利用向量\(\overrightarrow{FA}\)和\(\overrightarrow{FB}\)的数量积为0，构造方程求解k。

代码示例：

import sympy as sp

# 定义变量
x, y, k = sp.symbols('x y k')
a, b, c = 2, 1, sp.sqrt(5)

# 椭圆方程
ellipse_eq = sp.Eq(x**2/a**2 + y**2/b**2, 1)

# 直线方程
line_eq = sp.Eq(y, k*x)

# 解方程组求交点
intersection_points = sp.solve([ellipse_eq, line_eq], (x, y))

# 计算向量FA和FB
FA = (intersection_points[0][0] - c, intersection_points[0][1])
FB = (intersection_points[1][0] - c, intersection_points[1][1])

# 求向量数量积
dot_product = FA[0]*FB[0] + FA[1]*FB[1]

# 求解k
k_value = sp.solve(dot_product, k)
print(k_value)

2. 难题二：数列问题

题目回顾：已知数列\(\{a_n\}\)，其中\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=a_n^2+a_n\)，求证：对于任意的正整数n，都有\(a_n>n\)。

解题思路：利用数学归纳法，结合数列的性质和不等式求解。

详细解析：

  1. 基础步骤：验证当n=1时，\(a_1=1>n\)成立。
  2. 归纳步骤：假设当n=k时，\(a_k>k\)成立，证明当n=k+1时，\(a_{k+1}>k+1\)成立。

代码示例：

# 定义变量
n = sp.symbols('n')
a_n = sp.Function('a_n')

# 定义数列
a_n[1] = 1
for k in range(1, n):
    a_n[k+1] = a_n[k]**2 + a_n[k]

# 验证基础步骤
base_case = a_n[1] > 1
print(base_case)

# 验证归纳步骤
inductive_step = sp.simplify(a_n[n]**2 + a_n[n] - (n+1))
print(inductive_step)

3. 难题三：概率问题

题目回顾：袋中有5个红球、4个蓝球和3个绿球，随机取出3个球，求取出的3个球都是红球的概率。

解题思路：利用组合数和概率公式求解。

详细解析：

  1. 计算取出3个红球的组合数。
  2. 计算从12个球中取出3个球的组合数。
  3. 利用概率公式计算所求概率。

代码示例：

from math import comb

# 定义组合数函数
def combination(n, r):
    return comb(n, r)

# 计算概率
probability = combination(5, 3) / combination(12, 3)
print(probability)

二、备考攻略

1. 加强基础知识

高考数学考试内容广泛，考生需要掌握扎实的基础知识。在备考过程中，要重点复习课本内容，特别是公式、定理和性质，确保对基本概念有清晰的认识。

2. 提高解题技巧

解题技巧是提高数学成绩的关键。考生可以通过以下方法提高解题技巧：

  • 多做练习题，积累经验。
  • 分析解题思路，总结规律。
  • 注重解题步骤的规范性。

3. 培养思维能力

数学考试不仅考察知识，还考察思维能力。考生可以通过以下方法培养思维能力：

  • 多思考、多总结，提高逻辑思维能力。
  • 学会从不同角度看待问题，培养创新意识。
  • 多做难题，锻炼思维的深度和广度。

4. 保持良好心态

考试心态对成绩有很大影响。考生在备考过程中要保持良好的心态，避免焦虑和紧张。可以通过以下方法调整心态：

  • 合理安排学习时间，避免过度劳累。
  • 增强自信心，相信自己能够取得好成绩。
  • 学会放松，调整身心状态。

总结

本文通过对2017年高考全国数学理科难题的解析，为考生提供了相应的备考攻略。希望考生在备考过程中能够认真复习，掌握解题技巧，培养思维能力，以良好的心态迎接高考挑战。