一、选择题

1. 题目解析

题目原文：已知函数\(f(x)=\sin x + \cos x\)，则\(f(x)\)的值域为：

选项： A. \([-\sqrt{2}, \sqrt{2}]\)
B. \([-1, 1]\)
C. \([-\sqrt{2}, \sqrt{2}]\)
D. \([-2, 2]\)

解题步骤：

  1. 首先，利用三角函数的和差化积公式，将\(f(x)\)写成\(\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})\)的形式。
  2. 然后，根据正弦函数的值域，得到\(\sin(x + \frac{\pi}{4})\)的值域为\([-1, 1]\)。
  3. 最后，将\(\sin(x + \frac{\pi}{4})\)的值域乘以\(\sqrt{2}\)，得到\(f(x)\)的值域为\([-\sqrt{2}, \sqrt{2}]\)。

答案：A

2. 题目解析

题目原文：设\(a > 0\)，\(b > 0\)，\(a + b = 1\)，则\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\)的最小值为：

选项： A. 2
B. \(\frac{5}{2}\)
C. \(\frac{3}{2}\)
D. 4

解题步骤：

  1. 利用均值不等式，得到\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 2\sqrt{\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b}}\)。
  2. 由于\(a + b = 1\)，代入上式得到\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 2\sqrt{\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b}} = 2\sqrt{\frac{1}{ab}}\)。
  3. 根据算术平均数-几何平均数不等式，得到\(\frac{1}{ab} \leq \frac{(a + b)^2}{4} = \frac{1}{4}\)。
  4. 将\(\frac{1}{ab}\)的值代入上式，得到\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 2\sqrt{\frac{1}{ab}} \geq 2\sqrt{\frac{1}{\frac{1}{4}}} = 4\)。
  5. 当\(a = b = \frac{1}{2}\)时，等号成立。

答案：D

二、填空题

1. 题目解析

题目原文：若\(\sin x + \cos x = \sqrt{2}\)，则\(\sin x \cos x\)的值为：

解题步骤：

  1. 利用三角函数的和差化积公式，将\(\sin x + \cos x\)写成\(\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})\)的形式。
  2. 由于\(\sin x + \cos x = \sqrt{2}\)，代入上式得到\(\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}\)。
  3. 两边同时除以\(\sqrt{2}\)，得到\(\sin(x + \frac{\pi}{4}) = 1\)。
  4. 根据正弦函数的值域，得到\(x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\)，其中\(k\)为整数。
  5. 解得\(x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi\)。
  6. 将\(x\)的值代入\(\sin x \cos x\)，得到\(\sin x \cos x = \sin(\frac{\pi}{4} + 2k\pi) \cos(\frac{\pi}{4} + 2k\pi) = \frac{1}{2}\)。

答案：\(\frac{1}{2}\)

2. 题目解析

题目原文：若\(a > 0\)，\(b > 0\)，\(a + b = 1\)，则\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\)的最小值为：

解题步骤：

  1. 利用均值不等式，得到\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 2\sqrt{\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b}}\)。
  2. 由于\(a + b = 1\)，代入上式得到\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 2\sqrt{\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b}} = 2\sqrt{\frac{1}{ab}}\)。
  3. 根据算术平均数-几何平均数不等式，得到\(\frac{1}{ab} \leq \frac{(a + b)^2}{4} = \frac{1}{4}\)。
  4. 将\(\frac{1}{ab}\)的值代入上式，得到\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 2\sqrt{\frac{1}{ab}} \geq 2\sqrt{\frac{1}{\frac{1}{4}}} = 4\)。
  5. 当\(a = b = \frac{1}{2}\)时，等号成立。

答案：\(\frac{5}{2}\)

三、解答题

1. 题目解析

题目原文：已知函数\(f(x) = x^3 - 3x\)，求\(f(x)\)的极值。

解题步骤：

  1. 求导得到\(f'(x) = 3x^2 - 3\)。
  2. 令\(f'(x) = 0\)，解得\(x = \pm 1\)。
  3. 求二阶导数得到\(f''(x) = 6x\)。
  4. 当\(x = -1\)时，\(f''(-1) = -6 < 0\)，故\(x = -1\)为\(f(x)\)的极大值点。
  5. 当\(x = 1\)时，\(f''(1) = 6 > 0\)，故\(x = 1\)为\(f(x)\)的极小值点。
  6. 计算得到\(f(-1) = 2\)，\(f(1) = -2\)。

答案：极大值为2，极小值为-2。

2. 题目解析

题目原文：已知数列\(\{a_n\}\)的通项公式为\(a_n = 2^n - 1\)，求\(\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{3^n}\)。

解题步骤：

  1. 求极限得到\(\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{3^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n - 1}{3^n}\)。
  2. 将分子分母同时除以\(2^n\)，得到\(\lim_{n \to \infty} \frac{2^n - 1}{3^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{2^n}}{3^n}\)。
  3. 由于\(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n} = 0\)，代入上式得到\(\lim_{n \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{2^n}}{3^n} = \frac{1}{3}\)。

答案：\(\frac{1}{3}\)