揭秘2015福建高考数学：难题解析与备考策略全解析

一、2015年福建高考数学试卷概述

2015年福建高考数学试卷分为文科和理科两个版本，共分为选择题、填空题和解答题三个部分。试卷内容涵盖了数学的各个重要领域，如代数、几何、概率统计等。本文将重点解析试卷中的难题，并提供相应的备考策略。

题目：已知函数\(f(x)=\sin(x)+ax\)，其中\(a\)为常数，若\(f(x)\)的图像与\(x\)轴有两个不同的交点，则\(a\)的取值范围为________。

解析：本题主要考察函数图像与\(x\)轴的交点关系。首先，通过求导可得\(f'(x)=\cos(x)+a\)，令\(f'(x)=0\)，得到极值点\(x\)。然后，分析极值点的左右导数符号，判断极值点的性质。最后，结合函数图像与\(x\)轴的交点，列出不等式求解\(a\)的取值范围。

答案：\((-\sqrt{2}, 0) \cup (0, \sqrt{2})\)

题目：设\(A\)、\(B\)为平面上不共线的三点，\(O\)为坐标原点，\(\triangle AOB\)的外心为\(P\)，\(\triangle APB\)的外心为\(Q\)，则\(\angle OPQ\)的度数为________。

解析：本题主要考察三角形外心的性质及三角形的内角和外角关系。通过构造辅助线，将\(\angle OPQ\)转化为\(\angle AOB\)和\(\angle APB\)的和或差。然后，利用三角函数关系和三角形的性质，求解\(\angle OPQ\)的度数。

答案：\(90^\circ\)

题目：设\(a\)、\(b\)为实数，若\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1\)，则\(\frac{a^2+b^2}{ab}\)的最大值为________。

解析：本题主要考察不等式的应用。通过基本不等式\(\sqrt{ab}\leq\frac{a+b}{2}\)，可以得到\(\frac{a^2+b^2}{ab}\geq 2\sqrt{ab}\)。然后，结合题干条件，进一步求解最大值。

答案：\(2\)

题目：设\(f(x)=\log_{\frac{1}{2}}x\)，\(g(x)=\frac{1}{x}-x\)，求函数\(F(x)=f(g(x))\)的定义域和值域。

解析：本题主要考察函数复合及函数的值域和定义域。首先，求解\(g(x)\)的定义域，即\(x\neq 0\)且\(x\neq 1\)。然后，通过\(f(g(x))\)的表达式，确定\(F(x)\)的定义域。最后，利用换元法求解\(F(x)\)的值域。

答案：定义域：\((-\infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, +\infty)\)；值域：\((-\infty, 0) \cup (0, 1)\)