揭秘2015眉山二诊数学：难题解析与备考策略全解析

一、2015眉山二诊数学试卷概述

2015年眉山二诊数学试卷涵盖了高中数学的主要知识点，包括代数、几何、三角函数、解析几何等。试卷难度适中，既有基础题也有一定难度的题目，旨在考察学生的数学基础知识和应用能力。

二、难题解析

1. 难题一：解析几何中的椭圆问题

题目描述： 已知椭圆 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) 的左顶点为 \(A(-a, 0)\)，右顶点为 \(B(a, 0)\)，焦点为 \(F_1(-c, 0)\) 和 \(F_2(c, 0)\)。若点 \(P\) 在椭圆上，且 \(PF_1 + PF_2 = 2a\)，求 \(P\) 到直线 \(x = 0\) 的距离。

解题思路：

利用椭圆的定义，建立方程组求解点 \(P\) 的坐标。
利用点到直线的距离公式求解。

解题步骤：

设点 \(P(x, y)\)，根据椭圆的定义有 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)。
由 \(PF_1 + PF_2 = 2a\) 可得 \(\sqrt{(x+c)^2 + y^2} + \sqrt{(x-c)^2 + y^2} = 2a\)。
解方程组得到 \(x\) 和 \(y\) 的值。
利用点到直线的距离公式 \(d = \frac{|Ax + By + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\) 求解 \(P\) 到直线 \(x = 0\) 的距离。

代码示例：

from sympy import symbols, Eq, solve, sqrt

x, y, c = symbols('x y c')
a = 1  # 椭圆的半长轴
b = 1  # 椭圆的半短轴
equation1 = Eq(x**2 / a**2 + y**2 / b**2, 1)
equation2 = Eq(sqrt((x + c)**2 + y**2) + sqrt((x - c)**2 + y**2), 2 * a)
solution = solve((equation1, equation2), (x, y))
distance = abs(solution[x])  # P到直线x=0的距离

2. 难题二：三角函数中的数列问题

题目描述： 已知数列 \(\{a_n\}\) 的通项公式为 \(a_n = 2n - 1\)，求 \(\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}\)。

解题思路：

利用数列的通项公式计算 \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\)。
求极限。

解题步骤：

根据数列的通项公式计算 \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\)。
求极限。

代码示例：

from sympy import symbols, limit

n = symbols('n')
a_n = 2 * n - 1
limit_value = limit(a_n / (a_n + 1), n, float('inf'))

三、备考策略

1. 系统复习基础知识

考生在备考过程中，要系统复习高中数学的基础知识，包括代数、几何、三角函数等。重点关注公式、定理的推导过程和应用方法。

2. 加强解题训练

考生要通过大量的解题训练，提高自己的解题速度和准确率。可以选择历年真题、模拟题进行练习，重点关注难题、易错题的解析。

3. 培养数学思维

数学是一门需要思维的学科，考生在备考过程中要注重培养自己的数学思维，学会从多个角度分析问题、解决问题。