引言

2015年的高考数学题目因其难度和深度而备受关注。本文将深入解析2015年高考数学中的几道难题，并给出相应的备考策略，帮助考生在未来的考试中更好地应对类似的问题。

一、难题解析

1. 难题一：函数与导数的综合应用

题目描述：已知函数\(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4\)，求\(f(x)\)在\(x=1\)处的切线方程。

解题思路：

  1. 求出函数\(f(x)\)的导数\(f'(x)\)。
  2. 计算\(x=1\)时的导数值\(f'(1)\)，即切线的斜率。
  3. 使用点斜式方程求出切线方程。

详细步骤：

# 定义函数
def f(x):
    return x**3 - 3*x**2 + 4

# 求导数
def df(x):
    return 3*x**2 - 6*x

# 计算导数值
slope = df(1)

# 计算切点坐标
x0, y0 = 1, f(1)

# 使用点斜式方程求切线方程
y = slope * (x - x0) + y0

答案：切线方程为\(y = -2x + 5\)。

2. 难题二：立体几何与解析几何的结合

题目描述：已知正方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)的棱长为2，点\(E\)在\(A_1B_1\)上，\(EF\)垂直于平面\(ABCD\)，\(EF=3\)，求\(EF\)与平面\(A_1B_1C_1D_1\)所成的角\(\theta\)的正弦值。

解题思路：

  1. 利用立体几何知识，找出\(EF\)与平面\(A_1B_1C_1D_1\)的交点\(F_1\)。
  2. 使用解析几何方法，求出\(\angle FEF_1\)的正弦值。

详细步骤：

import math

# 正方体棱长
a = 2

# 点E在A1B1上，设E的坐标为(a, 0, a)
E = (a, 0, a)

# 点F在EF上，设F的坐标为(a, 0, a+3)
F = (a, 0, a+3)

# 计算EF的长度
EF_length = math.sqrt((a-a)**2 + (0-0)**2 + (a+3-a)**2)

# 计算F1的坐标，即EF与平面A1B1C1D1的交点
F1 = (a, 0, 0)

# 计算EF与F1F1'的夹角，即所求角θ的正弦值
sin_theta = math.sqrt((EF_length**2 - (a**2 + 3**2)) / (2*EF_length*a))

答案：\(\sin\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}\)。

二、备考策略

1. 基础知识扎实

要解决高考数学难题，基础知识必须扎实。考生需要熟练掌握各类数学公式、定理和性质，并能够灵活运用。

2. 做题技巧熟练

做题技巧对于解决数学难题至关重要。考生需要通过大量练习，熟悉各种题型和解题方法，提高解题速度和准确率。

3. 考试心态调整

高考是一场心理战，考生需要调整好心态，保持冷静和自信。在考试过程中，遇到难题时不要慌张，要善于分析问题，寻找解题思路。

总结

通过以上对2015年高考数学难题的解析和备考策略的介绍，相信考生能够更好地应对未来的数学考试。在备考过程中，考生要注重基础知识的学习，提高解题技巧，并调整好心态，相信一定能够取得优异的成绩。