引言
2015年金山数学一模试卷作为历年高考数学模拟考试的标杆，其难度和深度一直备受考生和教师关注。本文将深入解析2015年金山数学一模中的难题，并提供相应的备考策略，帮助考生在备考过程中更好地提升解题能力。
一、难题解析
1. 难题一：圆锥曲线问题
题目回顾： 已知椭圆 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) 的离心率为 \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)，且过点 \((1,0)\) 的直线与椭圆相切，求椭圆的方程。
解题思路：
- 利用椭圆的离心率公式 \(e = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}\)，结合离心率值求解 \(a\) 和 \(b\)。
- 利用切线斜率与椭圆切点的关系，列出切线方程，进而求解椭圆方程。
解题步骤：
- 根据离心率公式，有 \(\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}\)，解得 \(a^2 = 4b^2\)。
- 设切线方程为 \(y = k(x - 1)\)，联立椭圆方程，消去 \(y\) 得到关于 \(x\) 的二次方程。
- 利用判别式 \(\Delta = 0\) 求解 \(k\)，进而得到椭圆方程。
代码示例（Python）：
from sympy import symbols, Eq, solve, sqrt
# 定义变量
a, b, k = symbols('a b k')
# 离心率方程
eccentricity_eq = Eq(sqrt(3)/2, sqrt(a**2 - b**2)/a)
# 解方程得到 a 和 b 的关系
a_b_relation = solve(eccentricity_eq, b)
# 切线方程
tangent_eq = Eq(y, k*(x - 1))
# 消去 y，得到关于 x 的二次方程
quadratic_eq = Eq(1/a**2*x**2 + 1/b**2*y**2 - 1, 0).subs(y, k*(x - 1))
# 求解 k
k_value = solve(quadratic_eq, k)
# 根据 k 的值，求解椭圆方程
ellipse_eq = [1/a**2*x**2 + 1/b**2*y**2 - 1 for b in a_b_relation for k in k_value]
2. 难题二：立体几何问题
题目回顾： 已知长方体 \(ABCD-A_1B_1C_1D_1\) 的底面 \(ABCD\) 中，\(AB = 2\)，\(BC = 3\)，\(AA_1 = 4\)，求长方体对角线 \(BD_1\) 的长度。
解题思路：
- 利用长方体的性质，建立空间直角坐标系，求解对角线长度。
- 利用向量运算求解对角线长度。
解题步骤：
- 建立空间直角坐标系，设 \(A(0,0,0)\)，\(B(2,0,0)\)，\(C(2,3,0)\)，\(D(0,3,0)\)，\(A_1(0,0,4)\)。
- 求对角线 \(BD_1\) 的向量表示。
- 利用向量的模长公式求解对角线长度。
代码示例（Python）：
from sympy import Matrix
# 定义向量表示
AB = Matrix([2, 0, 0])
AC = Matrix([2, 3, 0])
AD = Matrix([0, 3, 0])
AA1 = Matrix([0, 0, 4])
# 求对角线 BD1 的向量表示
BD1 = AB + AC + AD + AA1
# 求对角线长度
diameter_length = BD1.norm()
二、备考策略
1. 熟悉知识点
考生应全面掌握高中数学各个知识点，特别是圆锥曲线、立体几何等重难点内容。
2. 强化训练
通过历年高考真题、模拟题进行强化训练，熟悉不同类型题目的解题方法。
3. 注重基础
在备考过程中，注重基础知识的掌握，避免因基础知识薄弱而影响解题能力。
4. 提高计算能力
加强计算能力训练，提高解题速度和准确性。
5. 培养解题思维
通过分析历年高考真题，总结解题思路和方法，提高解题能力。
总结
2015年金山数学一模试卷中的难题充分体现了高考数学的难度和深度。考生在备考过程中，应注重基础知识的学习，提高解题能力，以应对高考的挑战。