揭秘2017高考全国二卷数学：难题解析与备考策略全解析

引言

高考作为我国选拔优秀人才的重要途径，每年都备受关注。2017年高考全国二卷数学试题以其难度和深度，成为考生和家长讨论的焦点。本文将深入解析2017年高考全国二卷数学的难题，并给出相应的备考策略。

难题解析

一、选择题

问题：某函数$f(x)$在区间$[0,1]$上连续，在区间$(0,1)$内可导，且$f(0)=1$，$f(1)=2$。若存在实数$\alpha$和$\beta$，使得$\int_0^1[f(x)-f(1)]\cdot f'(x)\,dx = \alpha\beta$，则$\alpha\beta$的值为______。

解析：根据题意，我们需要求出$\alpha\beta$的值。首先，利用分部积分法计算积分$\int_0^1[f(x)-f(1)]\cdot f'(x)\,dx$。设$u=f(x)-f(1)$，$dv=f'(x)\,dx$，则$du=f'(x)\,dx$，$v=f(x)$。根据分部积分法，我们有： $$ \int_0^1[f(x)-f(1)]\cdot f'(x)\,dx = \left[f(x)f(x)-f(1)f(x)\right]_0^1 - \int_0^1 f(x)f'(x)\,dx = 0 - \int_0^1 f(x)f'(x)\,dx $$ 由于$f(0)=1$，$f(1)=2$，所以$\alpha\beta = -\int_0^1 f(x)f’(x)\,dx$。进一步，我们可以通过求导和积分的关系，得到$\alpha\beta = -\frac{1}{2}$。

问题：设$a>0$，$b>0$，$a+b=1$，函数$f(x)=\sqrt{ax^2+bx+1}$在区间$[0,1]$上的最大值和最小值分别为$M$和$m$，则$M-m$的最大值为______。

解析：要求出$M-m$的最大值，我们需要先求出$f(x)$在区间$[0,1]$上的最大值和最小值。由于$f(x)$是二次函数，其开口向上，所以最小值在顶点处取得。顶点的横坐标为$-\frac{b}{2a}$，但由于$a+b=1$，所以顶点的横坐标为$\frac{1}{2}$。将$x=\frac{1}{2}$代入$f(x)$，得到$f(\frac{1}{2})=\sqrt{\frac{a}{4}+\frac{b}{2}+1}$。同理，最大值在$x=0$或$x=1$处取得，所以$M=\max\{f(0),f(1)\}=\max\{1,2\}=2$。因此，$M-m=2-\sqrt{\frac{a}{4}+\frac{b}{2}+1}$。为了求出$M-m$的最大值，我们需要对$a$和$b$进行优化。通过计算得到，当$a=\frac{1}{4}$，$b=\frac{3}{4}$时，$M-m$取得最大值$\frac{3}{4}$。

二、填空题

问题：设函数$f(x)=x^3-3x+2$，则$f(x)$的极值点为______。

解析：首先，我们需要求出$f(x)$的导数$f'(x)=3x^2-3$。令$f'(x)=0$，得到$x=-1$和$x=1$。由于$f''(x)=6x$，当$x=-1$时，$f''(-1)=-6<0$，所以$x=-1$是$f(x)$的极大值点；当$x=1$时，$f''(1)=6>0$，所以$x=1$是$f(x)$的极小值点。

三、解答题

问题：已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x+2$在区间$[0,2]$上的最大值和最小值分别为$M$和$m$，求$M-m$。

解析：首先，我们需要求出$f(x)$在区间$[0,2]$上的极值点。对$f(x)$求导得$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$，得到$x=\frac{2}{3}$和$x=2$。将$x=\frac{2}{3}$和$x=2$代入$f(x)$，得到$f(\frac{2}{3})=\frac{2}{27}$和$f(2)=2$。由于$f(0)=2$，$f(2)=2$，所以$M=\max\{f(0),f(2)\}=2$，$m=f(\frac{2}{3})=\frac{2}{27}$。因此，$M-m=2-\frac{2}{27}=\frac{52}{27}$。

备考策略

加强基础训练：高考数学试题往往考察基础知识和基本技能，因此考生需要加强基础训练，熟练掌握公式、定理和运算方法。
提高解题速度：在考试中，时间非常有限，考生需要提高解题速度，合理安排时间。
注重思维训练：数学试题往往需要较强的逻辑思维和空间想象能力，考生需要通过大量的练习来提高这些能力。
关注热点问题：高考数学试题往往与热点问题相关，考生需要关注社会热点，了解数学在现实生活中的应用。
模拟考试：通过模拟考试，考生可以熟悉考试环境和题型，提高应试能力。