揭秘2017高考全国数学1：难题解析与备考策略全解析

引言

2017年高考数学试卷作为高考历史上的一个重要样本，其难度和题型设置对考生备考具有重要的参考价值。本文将针对2017年高考全国数学1卷中的难题进行解析，并提供相应的备考策略，帮助考生在未来的考试中取得优异成绩。

一、2017高考全国数学1难题解析

1. 难题一：圆锥曲线问题

题目描述：已知椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)的离心率为\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)，且过点\((1,0)\)的直线与椭圆相交于点\(A\)和\(B\)，直线\(AB\)的方程为\(x=ty+1\)。

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求点\(A\)和\(B\)的坐标；

（3）若直线\(AB\)的斜率存在，求\(\tan\angle AOB\)的值。

解析：

（1）根据离心率的定义，有\(\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，其中\(c\)为椭圆的焦距，\(a\)为椭圆的长半轴。由椭圆的性质可知\(c^2=a^2-b^2\)，代入离心率的表达式，得到\(a^2-b^2=\frac{3}{4}a^2\)。解得\(b^2=\frac{1}{4}a^2\)，即\(b=\frac{1}{2}a\)。

由点\((1,0)\)在椭圆上，代入椭圆方程得到\(\frac{1}{a^2}+\frac{0}{b^2}=1\)，解得\(a=2\)，\(b=1\)。因此，椭圆的标准方程为\(\frac{x^2}{4}+y^2=1\)。

（2）将直线方程\(x=ty+1\)代入椭圆方程，得到\((t^2+4)y^2+2ty-3=0\)。由韦达定理，设\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，则\(y_1+y_2=-\frac{2t}{t^2+4}\)，\(y_1y_2=-\frac{3}{t^2+4}\)。

由直线方程和椭圆方程，得到\(x_1=ty_1+1\)，\(x_2=ty_2+1\)。因此，\(x_1+x_2=t(y_1+y_2)+2=\frac{2}{t^2+4}\)，\(x_1x_2=t^2y_1y_2+ty_1+ty_2+1=\frac{-3t^2+2t}{t^2+4}\)。

因此，点\(A\)和\(B\)的坐标为\(A\left(\frac{2}{t^2+4},-\frac{t}{t^2+4}\right)\)，\(B\left(\frac{-3t^2+2t}{t^2+4},\frac{2t}{t^2+4}\right)\)。

（3）由点\(A\)和\(B\)的坐标，可求出向量\(\overrightarrow{OA}=(\frac{2}{t^2+4},-\frac{t}{t^2+4})\)，\(\overrightarrow{OB}=(\frac{-3t^2+2t}{t^2+4},\frac{2t}{t^2+4})\)。

由向量点积公式，得到\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\frac{2}{t^2+4}\cdot\frac{-3t^2+2t}{t^2+4}+\left(-\frac{t}{t^2+4}\right)\cdot\frac{2t}{t^2+4}=-\frac{4}{t^2+4}\)。

由向量点积的性质，有\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=|\overrightarrow{OA}|\cdot|\overrightarrow{OB}|\cdot\cos\angle AOB\)。因此，\(\cos\angle AOB=-\frac{1}{2}\)。

由于\(\angle AOB\in(0,\pi)\)，得到\(\tan\angle AOB=-\sqrt{3}\)。

2. 难题二：概率问题

题目描述：甲、乙两人进行羽毛球比赛，比赛结果只有两种可能：甲胜或乙胜。甲胜的概率为\(\frac{2}{3}\)，乙胜的概率为\(\frac{1}{3}\)。

（1）甲、乙两人连续比赛3局，求甲、乙分别以2:1和1:2获胜的概率；

（2）甲、乙两人连续比赛3局，求甲、乙在比赛过程中至少休息一次的概率。

解析：

（1）甲、乙分别以2:1获胜的概率为\(\frac{2}{3}\times\frac{1}{3}\times\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\times\frac{2}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{4}{27}\)。

甲、乙分别以1:2获胜的概率为\(\frac{2}{3}\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\times\frac{2}{3}\times\frac{2}{3}=\frac{8}{27}\)。

（2）甲、乙在比赛过程中至少休息一次的概率为\(1-\frac{2}{3}\times\frac{1}{3}\times\frac{2}{3}=\frac{19}{27}\)。

二、备考策略

1. 理解基础知识

考生在备考过程中，首先要确保对基础知识有扎实的掌握。对于圆锥曲线、概率等知识点，要深入理解其定义、性质和运算方法。

2. 练习解题技巧

考生可以通过大量练习，提高解题速度和准确率。在解题过程中，要学会运用公式、定理和技巧，提高解题效率。

3. 关注题型变化

考生要关注高考题型变化，了解高考命题趋势。在备考过程中，要有针对性地进行训练，提高应对各类题型的能力。