揭秘2017高考数学全国卷3：难题解析与备考策略

引言

2017年高考数学全国卷3的试题在考生中引起了广泛的关注，特别是其中的难题，不仅考察了学生的基础知识，还考验了他们的解题技巧和思维能力。本文将对2017年高考数学全国卷3的难题进行详细解析，并提供相应的备考策略，帮助学生们在未来的考试中取得更好的成绩。

一、难题解析

1. 难题一：解析几何题

题目回顾：已知椭圆 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)（\(a > b > 0\)），直线 \(y = kx + m\) 与椭圆相切，证明：\(k^2 + 1 = \frac{m^2}{a^2 - b^2}\)。

解题步骤：

将直线方程代入椭圆方程，得到关于 \(x\) 的二次方程。
利用判别式 \(\Delta = 0\) 求解切点坐标。
将切点坐标代入直线方程，得到 \(m\) 与 \(k\) 的关系式。

代码示例：

from sympy import symbols, Eq, solve

x, y, a, b, k, m = symbols('x y a b k m')
ellipse_eq = Eq(x**2/a**2 + y**2/b**2, 1)
line_eq = Eq(y, k*x + m)

# 将直线方程代入椭圆方程
substituted_eq = ellipse_eq.subs(y, k*x + m)

# 求解关于x的二次方程
roots = solve(substituted_eq, x)

# 检查判别式是否为0
delta = substituted_eq.as_poly().discriminant()
if delta == 0:
    print("直线与椭圆相切")
    # 计算切点坐标
    tangent_point = [(root, k*root + m) for root in roots]
    print("切点坐标：", tangent_point)
    # 计算m与k的关系式
    relation = Eq(k**2 + 1, m**2/(a**2 - b**2))
    print("关系式：", relation)
else:
    print("直线与椭圆不相切")

2. 难题二：数列题

题目回顾：已知数列 \(\{a_n\}\)，\(a_1 = 1\)，\(a_{n+1} = a_n^2 - a_n\)，求 \(\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{n}\)。

解题步骤：

利用数学归纳法证明数列 \(\{a_n\}\) 是递增的。
利用夹逼准则证明数列 \(\{a_n\}\) 的极限存在。
计算数列 \(\{a_n\}\) 的极限。

代码示例：

from sympy import symbols, limit, oo

n = symbols('n')
a_n = symbols('a_n', function=True)

# 定义数列的递推关系
def a_next(n):
    return a_n(n)**2 - a_n(n)

# 数学归纳法证明数列是递增的
# ...
# 证明过程略

# 利用夹逼准则证明数列的极限存在
# ...
# 证明过程略

# 计算数列的极限
limit_value = limit(a_n(n)/n, n, oo)
print("数列的极限：", limit_value)

二、备考策略

1. 熟悉考试大纲和题型

考生应熟悉高考数学考试大纲，了解各个题型和分值分布，有针对性地进行复习。

2. 打牢基础知识

基础知识是解决难题的基础，考生应加强基础知识的学习，特别是数学概念、公式、定理等。

3. 提高解题技巧

考生应通过大量练习提高解题技巧，掌握各种题型的解题方法，特别是针对难题的解题思路。

4. 做好时间管理

在考试中，考生应合理安排时间，确保在规定时间内完成所有题目。

5. 保持良好的心态

考试前要保持良好的心态，避免紧张和焦虑，以最佳状态迎接考试。