引言

高考作为我国重要的选拔性考试，每年都吸引着无数考生和家长的关注。数学作为高考科目中的重要一环，其难度和深度往往决定了考生的整体成绩。本文将针对2017年高考数学真题，深入解析其中的关键解题思路，帮助考生更好地理解和掌握解题技巧。

一、选择题解析

1. 简答题解析

题目：已知函数\(f(x)=x^3-3x+2\)，求\(f(x)\)的单调区间。

解题思路：

  1. 求导数：\(f'(x)=3x^2-3\)。
  2. 解方程\(f'(x)=0\)，得\(x=-1\)和\(x=1\)。
  3. 分析导数的符号，当\(x<-1\)时，\(f'(x)>0\)；当\(-1<x<1\)时，\(f'(x)<0\)；当\(x>1\)时，\(f'(x)>0\)。
  4. 结论：\(f(x)\)的单调增区间为\((-\infty,-1)\)和\((1,+\infty)\)，单调减区间为\((-1,1)\)。

2. 应用题解析

题目：已知函数\(f(x)=\frac{x}{x+1}\)，求\(f(x)\)在\(x\in[0,1]\)上的最大值和最小值。

解题思路：

  1. 求导数：\(f'(x)=\frac{1}{(x+1)^2}\)。
  2. 分析导数的符号，由于\(x\in[0,1]\)，\(f'(x)>0\)。
  3. 结论：\(f(x)\)在\(x\in[0,1]\)上单调递增，最大值为\(f(1)=\frac{1}{2}\)，最小值为\(f(0)=0\)。

二、填空题解析

1. 简答题解析

题目：已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=a_n^2-a_n+1\)，求\(\lim_{n\to\infty}a_n\)。

解题思路：

  1. 分析数列的单调性，由于\(a_{n+1}=a_n^2-a_n+1\)，\(a_n>0\)，故\(a_{n+1}>a_n\)。
  2. 求极限\(\lim_{n\to\infty}a_n\)，由于\(a_{n+1}=a_n^2-a_n+1\)，可得\(\lim_{n\to\infty}a_n^2=\lim_{n\to\infty}a_n\)。
  3. 设\(\lim_{n\to\infty}a_n=a\)，代入\(a^2=a\)，解得\(a=0\)或\(a=1\)。
  4. 结论：\(\lim_{n\to\infty}a_n=1\)。

2. 应用题解析

题目：已知函数\(f(x)=x^3-3x+2\)，求\(f(x)\)在\(x\in[0,2]\)上的定积分。

解题思路：

  1. 求出\(f(x)\)的原函数：\(F(x)=\frac{1}{4}x^4-\frac{3}{2}x^2+2x+C\)。
  2. 计算定积分：\(\int_0^2f(x)dx=F(2)-F(0)=\frac{1}{4}\times2^4-\frac{3}{2}\times2^2+2\times2=4\)。
  3. 结论：\(\int_0^2f(x)dx=4\)。

三、解答题解析

1. 简答题解析

题目：已知函数\(f(x)=x^3-3x+2\)，求\(f(x)\)的零点。

解题思路：

  1. 求导数：\(f'(x)=3x^2-3\)。
  2. 解方程\(f'(x)=0\)，得\(x=-1\)和\(x=1\)。
  3. 分析\(f(x)\)的符号，当\(x<-1\)时，\(f(x)>0\)；当\(-1<x<1\)时，\(f(x)<0\)；当\(x>1\)时，\(f(x)>0\)。
  4. 结论：\(f(x)\)的零点为\(x=-1\)和\(x=1\)。

2. 应用题解析

题目：已知函数\(f(x)=\frac{x}{x+1}\)，求\(f(x)\)在\(x\in[0,1]\)上的定积分。

解题思路：

  1. 求出\(f(x)\)的原函数：\(F(x)=\frac{1}{4}x^4-\frac{3}{2}x^2+2x+C\)。
  2. 计算定积分：\(\int_0^2f(x)dx=F(2)-F(0)=\frac{1}{4}\times2^4-\frac{3}{2}\times2^2+2\times2=4\)。
  3. 结论：\(\int_0^2f(x)dx=4\)。

结语

通过对2017年高考数学真题的深度解析，我们可以发现，解题的关键在于对基础知识的熟练掌握和灵活运用。考生在备考过程中，要注重基础知识的学习和训练，提高自己的解题能力。同时，也要关注最新的高考动态，了解命题趋势，有针对性地进行备考。