引言
2017年江苏数学高考的18题因其难度和深度，成为了考生和教师讨论的焦点。本文将深入解析这一难题，并提供相应的备考策略，帮助考生在未来的考试中更好地应对类似的高难度题目。
难题解析
题目回顾
2017年江苏数学高考18题如下：
设函数\(f(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}\)，其中\(x\neq 0\)，\(x\neq 1\)。求证：对于任意实数\(t\)，方程\(f(x)=t\)至多有两个实数根。
解题思路
- 函数性质分析：首先分析函数\(f(x)\)的性质，确定其在定义域内的行为。
- 方程根的个数：通过分析函数图像或使用代数方法，探讨方程\(f(x)=t\)根的个数与\(t\)的关系。
解题步骤
函数性质分析：
- 函数\(f(x)\)在\(x=0\)和\(x=1\)处无定义。
- 函数在\(x>1\)时递减，在\(x<1\)时递增。
方程根的个数：
- 考虑函数图像与直线\(y=t\)的交点个数。
- 通过绘制函数图像，观察不同\(t\)值下交点的变化。
解题过程
设$g(x)=f(x)-t=\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}-t$，则$g(x)=0$即$f(x)=t$。
求导得$g'(x)=-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{(x-1)^2}$。
令$g'(x)=0$，解得$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$或$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$。
分析$g'(x)$的符号，确定$g(x)$的单调性。
根据$g(x)$的单调性和$g(0)$，$g(1)$的值，判断方程$f(x)=t$的根的个数。
备考策略
基础知识巩固
- 加强对函数性质、图像的理解。
- 熟练掌握导数的应用，如求极值、判断单调性等。
题型训练
- 多做历年的高考试题，特别是高难度的题目。
- 分析解题思路，总结解题方法。
时间管理
- 在考试中合理分配时间，确保对难题有足够的时间进行思考和解答。
心理调适
- 保持良好的心态，遇到难题不要慌张。
- 通过模拟考试，提高应试能力。
总结
2017年江苏数学高考18题是一道具有挑战性的题目，通过对该题的解析和备考策略的探讨，希望考生能够在未来的考试中更好地应对类似的高难度题目。