引言

2017年高考山东卷数学试题以其难度和深度著称，其中一些题目成为了考生和教师讨论的焦点。本文将深入解析其中的一些难题，揭示解题思路，并针对备考提供相关技巧。

难题解析

一、题目示例

题目：已知函数\(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4\)，求证：对于任意实数\(x\)，\(f(x) \geq 2\)。

解题思路

  1. 换元法：设\(t = x - 1\)，则\(f(x) = (t+1)^3 - 3(t+1)^2 + 4\)，将\(f(x)\)转换为关于\(t\)的函数。
  2. 分析函数：分析函数的极值和导数，判断函数的增减性。
  3. 求解不等式：通过分析函数的增减性和极值，证明对于所有\(t\)，\(f(x) \geq 2\)。

解题步骤

  1. 换元：设\(t = x - 1\)，则\(f(x) = t^3 + 3t^2 + 1\)。
  2. 求导：\(f'(t) = 3t^2 + 6t\)。
  3. 判断极值：令\(f'(t) = 0\)，解得\(t = 0\)，即\(x = 1\)。
  4. 判断函数增减性：当\(t < 0\)时，\(f'(t) < 0\)，函数单调递减；当\(t > 0\)时，\(f'(t) > 0\)，函数单调递增。
  5. 计算极值：\(f(0) = 1\)，即\(f(x)\)在\(x = 1\)处取得极小值。
  6. 证明不等式：由于\(f(x)\)在\(x = 1\)处取得极小值，且\(f(1) = 2\)，故对于所有实数\(x\)，\(f(x) \geq 2\)。

备考技巧

  1. 基础知识：熟悉函数、导数、不等式等相关基础知识，为解决这类问题打下坚实基础。
  2. 解题技巧：掌握换元法、分析法、求解不等式等解题技巧。
  3. 练习题目：多做一些历年高考题和模拟题，熟悉不同类型的题目和解题方法。
  4. 时间管理：在考试中合理分配时间，确保能够充分思考和解答。

总结

通过对2017年高考山东数学难题的解析，我们了解到解题的关键在于灵活运用数学知识和技巧。在备考过程中，考生应注重基础知识的学习，熟练掌握各种解题方法，并多做练习，提高解题能力。