引言
高考数学作为衡量学生数学能力的重要标准，一直是考生和家长关注的焦点。2017年高考数学3卷理科试卷中，既有常规题型，也有颇具挑战性的难题。本文将深入解析这些难题，并提供相应的备考策略，帮助考生在未来的高考中取得优异成绩。
一、难题解析
1. 难题一：解析几何问题
题目描述：已知椭圆 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)，其中 \(a > b\)，直线 \(y = kx + m\) 与椭圆相交于点 \(A\) 和 \(B\)。求证：\(AB\) 的中点 \(M\) 在椭圆上。
解析：
- 首先，将直线方程代入椭圆方程，得到关于 \(x\) 的二次方程。
- 解出 \(x\) 的两个根，分别对应点 \(A\) 和 \(B\) 的 \(x\) 坐标。
- 利用中点坐标公式，求出 \(M\) 的坐标。
- 将 \(M\) 的坐标代入椭圆方程，验证是否成立。
代码示例（Python）：
from sympy import symbols, Eq, solve
x, a, b, k, m = symbols('x a b k m')
# 椭圆方程
ellipse_eq = Eq(x**2 / a**2 + (k*x + m)**2 / b**2, 1)
# 解出x
x_solutions = solve(ellipse_eq, x)
# 求中点坐标
M_x = (x_solutions[0] + x_solutions[1]) / 2
M_y = k * M_x + m
# 验证中点是否在椭圆上
verification_eq = Eq(M_x**2 / a**2 + (k*M_x + m)**2 / b**2, 1)
verification_result = verification_eq.simplify()
print(verification_result)
2. 难题二：数列问题
题目描述：已知数列 \(\{a_n\}\) 满足 \(a_1 = 1\)，\(a_{n+1} = a_n^2 - 2\)。求证：\(\{a_n\}\) 是单调递增数列。
解析：
- 利用数学归纳法证明。
- 首先证明 \(a_2 > a_1\)。
- 假设 \(a_k > a_{k-1}\) 成立，证明 \(a_{k+1} > a_k\)。
代码示例（Python）：
def is_increasing_sequence(a1, f):
return f(a1) > a1
# 定义数列
a1 = 1
f = lambda x: x**2 - 2
# 验证数列是否单调递增
print(is_increasing_sequence(a1, f))
二、备考策略
1. 熟悉考试大纲和题型
- 熟悉高考数学考试大纲，了解各个知识点的考察要求。
- 熟悉各种题型，如选择题、填空题、解答题等。
2. 加强基础训练
- 加强对基础知识的掌握，如代数、几何、三角等。
- 通过大量练习，提高解题速度和准确率。
3. 注重解题技巧
- 学习并掌握各种解题技巧，如换元法、待定系数法等。
- 分析历年高考真题，总结解题规律。
4. 保持良好的心态
- 考试前保持良好的作息，确保充足的睡眠。
- 考试时保持冷静，避免紧张情绪影响发挥。
通过以上解析和策略，相信考生能够在未来的高考中取得优异的成绩。