引言

高考数学作为高考的重要组成部分，历来备受考生和家长的重视。2017年高考数学卷3作为全国卷之一，其难度和题型设置具有一定的代表性。本文将深入解析2017年高考数学卷3中的难题，并提供相应的备考策略，帮助考生更好地应对高考数学。

一、2017年高考数学卷3难题解析

1. 难题一：圆锥曲线问题

题目回顾： 设椭圆 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)（\(a > b > 0\)）的左、右焦点分别为 \(F_1(-c,0)\)，\(F_2(c,0)\)，\(P\) 是椭圆上的一点，且 \(PF_1 = 3PF_2\)。若直线 \(PF_1\) 的倾斜角为 \(\frac{\pi}{3}\)，则椭圆的离心率 \(e\) 为多少？

解题思路： 首先，根据椭圆的定义，我们可以得到 \(a^2 = b^2 + c^2\)。由于 \(PF_1 = 3PF_2\)，我们可以设 \(PF_2 = x\)，则 \(PF_1 = 3x\)。根据直线的倾斜角，我们可以得到 \(PF_1\) 的斜率为 \(\tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}\)。结合椭圆的方程，我们可以列出方程组求解 \(a\)、\(b\)、\(c\) 的值，进而求出离心率 \(e\)。

详细步骤：

  1. 根据椭圆的定义，得到 \(a^2 = b^2 + c^2\)。
  2. 设 \(PF_2 = x\)，则 \(PF_1 = 3x\)。
  3. 根据直线的倾斜角，得到 \(PF_1\) 的斜率为 \(\sqrt{3}\)。
  4. 结合椭圆的方程，列出方程组求解 \(a\)、\(b\)、\(c\) 的值。
  5. 求出离心率 \(e = \frac{c}{a}\)。

代码示例（Python）：

import sympy as sp

# 定义变量
a, b, c, x = sp.symbols('a b c x')

# 椭圆方程
ellipse_eq = sp.Eq(a**2, b**2 + c**2)

# 直线斜率
slope = sp.sqrt(3)

# 根据题意列出方程组
eq1 = sp.Eq(3*x, a + c)
eq2 = sp.Eq(x, b - c)
eq3 = sp.Eq(slope, (a + c)/(b - c))

# 解方程组
solution = sp.solve((ellipse_eq, eq1, eq2, eq3), (a, b, c, x))

# 计算离心率
eccentricity = solution[c]/solution[a]
eccentricity

2. 难题二：数列问题

题目回顾： 已知数列 \(\{a_n\}\) 的前 \(n\) 项和为 \(S_n = n^2 + n\)，求 \(\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{2^n}\)。

解题思路： 首先，根据数列的前 \(n\) 项和公式，我们可以得到数列的通项公式 \(a_n = S_n - S_{n-1}\)。然后，利用极限的性质，我们可以求出 \(\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{2^n}\)。

详细步骤：

  1. 根据数列的前 \(n\) 项和公式，得到数列的通项公式 \(a_n = S_n - S_{n-1}\)。
  2. 利用极限的性质，求出 \(\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{2^n}\)。

代码示例（Python）：

import sympy as sp

# 定义变量
n = sp.symbols('n')

# 数列的前n项和
S_n = n**2 + n
S_n_minus_1 = (n - 1)**2 + (n - 1)

# 数列的通项公式
a_n = S_n - S_n_minus_1

# 计算极限
limit = sp.limit(a_n/2**n, n, sp.oo)
limit

二、备考策略

1. 系统复习，掌握基础知识

高考数学的题目虽然多变，但万变不离其宗。考生需要系统复习基础知识，包括函数、数列、三角函数、立体几何、解析几何等，确保对基本概念、公式、定理等有扎实的掌握。

2. 做题巩固，提高解题技巧

考生需要通过大量的练习来提高解题技巧。在练习过程中，要注意总结解题思路和方法，形成自己的解题风格。同时，要注重对错题的分析和总结，找出自己的薄弱环节，有针对性地进行强化训练。

3. 模拟考试，调整心态

在备考过程中，考生要定期进行模拟考试，以检验自己的学习成果。同时，要注意调整心态，保持良好的作息和饮食习惯，以最佳状态迎接高考。

4. 关注时事，拓宽知识面

高考数学题目有时会涉及一些时事热点问题，考生要关注时事，拓宽知识面。这不仅可以提高自己的综合素质，还可以在考试中找到得分点。

总之，2017年高考数学卷3的难题解析与备考策略为我们提供了宝贵的经验和启示。考生在备考过程中，要注重基础知识的学习，提高解题技巧，调整心态，关注时事，以最佳状态迎接高考。