引言

2017年宁波中考数学试卷中，有几道题目因其难度和深度而备受关注。本文将深入解析这些难题，帮助考生理解解题思路，掌握高分技巧。

一、2017年宁波中考数学难题解析

1. 难题一：函数与几何结合题

题目描述：已知函数\(f(x) = x^2 - 4x + 3\)，在坐标系中画出其图像。若点\(A(x_1, y_1)\)在函数图像上，点\(B(x_2, y_2)\)在直线\(y = 2x + 1\)上，求点\(A\)和点\(B\)之间的距离。

解题思路：

  1. 首先，根据函数表达式画出函数图像。
  2. 找出点\(A\)的坐标，即解方程\(x^2 - 4x + 3 = y_1\)。
  3. 找出点\(B\)的坐标，即解方程\(y_2 = 2x_2 + 1\)。
  4. 利用两点间的距离公式计算\(AB\)的距离。

代码示例：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# 定义函数
def f(x):
    return x**2 - 4*x + 3

# 生成x值
x = np.linspace(0, 5, 100)

# 绘制函数图像
plt.plot(x, f(x))
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.title('函数图像')
plt.grid(True)
plt.show()

2. 难题二：概率与统计结合题

题目描述：某班有30名学生，其中男生15名，女生15名。现从该班随机抽取3名学生参加比赛，求抽到2名男生和1名女生的概率。

解题思路：

  1. 计算从15名男生中抽取2名的组合数。
  2. 计算从15名女生中抽取1名的组合数。
  3. 计算总的可能性，即从30名学生中抽取3名的组合数。
  4. 利用概率公式计算所求概率。

代码示例：

from math import comb

# 计算组合数
def combination(n, r):
    return comb(n, r)

# 计算概率
def probability():
    n_boys = 15
    n_girls = 15
    r_boys = 2
    r_girls = 1
    total_students = 30
    total_combinations = combination(total_students, 3)
    boy_combinations = combination(n_boys, r_boys)
    girl_combinations = combination(n_girls, r_girls)
    return (boy_combinations * girl_combinations) / total_combinations

# 输出概率
print(f"概率为：{probability()}")

3. 难题三：数列与不等式结合题

题目描述：已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1 = 2\)，\(a_{n+1} = a_n + \frac{1}{a_n}\)，求证数列\(\{a_n\}\)的极限存在，并求出其极限值。

解题思路：

  1. 利用数学归纳法证明数列\(\{a_n\}\)是单调递增的。
  2. 利用数列的单调性证明数列\(\{a_n\}\)的极限存在。
  3. 求出数列\(\{a_n\}\)的极限值。

代码示例：

def a_n(n):
    if n == 1:
        return 2
    else:
        return a_n(n-1) + 1 / a_n(n-1)

# 计算前10项的值
for i in range(1, 11):
    print(f"a_{i} = {a_n(i)}")

二、总结

通过对2017年宁波中考数学难题的解析，我们可以发现，解决这类题目需要考生具备扎实的数学基础和灵活的解题思路。掌握这些高分技巧，相信可以帮助考生在未来的考试中取得更好的成绩。