揭秘2015高考数学卷二：难题解析与备考策略大揭秘

引言

2015年的高考数学卷二在考生中引起了广泛的关注，尤其是其中的难题部分。本文将深入解析这些难题，并提供相应的备考策略，帮助考生在未来的考试中更好地应对类似的问题。

一、难题解析

1. 难题一：解析几何问题

题目描述：已知椭圆 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)，其中 \(a > b\)，直线 \(y = kx + m\) 与椭圆相交于点 \(A\) 和 \(B\)。求证：\(AB\) 的中点 \(M\) 在椭圆上。

解析：

首先，将直线方程代入椭圆方程，得到关于 \(x\) 的二次方程。
利用韦达定理，求出 \(x_1 + x_2\) 和 \(x_1x_2\)。
利用中点坐标公式，求出 \(M\) 的坐标。
将 \(M\) 的坐标代入椭圆方程，证明等式成立。

代码示例：

# 假设 a 和 b 为椭圆的半长轴和半短轴，k 和 m 为直线的斜率和截距
a = 2
b = 1
k = 1
m = 1

# 求解二次方程
from sympy import symbols, Eq, solve

x = symbols('x')
equation = Eq((x**2)/(a**2) + (k*x + m)**2/(b**2), 1)
roots = solve(equation, x)

# 求解中点坐标
x1, x2 = roots
x_m = (x1 + x2)/2
y_m = k*x_m + m

# 验证中点是否在椭圆上
equation_m = Eq((x_m**2)/(a**2) + (y_m**2)/(b**2), 1)
result = solve(equation_m, x_m)

2. 难题二：数列问题

题目描述：已知数列 \(\{a_n\}\) 的前 \(n\) 项和为 \(S_n = 3^n - 1\)，求 \(\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{S_n}\)。

解析：

利用数列的前 \(n\) 项和公式，求出数列的通项公式。
利用极限的性质，求出所求极限。

代码示例：

from sympy import symbols, limit, simplify

n = symbols('n')
a_n = 3**n - 1 - (3**(n-1) - 1)
S_n = 3**n - 1
limit_result = limit(a_n/S_n, n, float('inf'))
simplify(limit_result)

二、备考策略

1. 熟悉高考数学考试大纲

了解考试大纲的要求，明确高考数学的考点和难点，有针对性地进行复习。

2. 加强基础知识的训练

高考数学的难题往往建立在基础知识之上，因此要加强对基础知识的训练，提高解题能力。

3. 做好模拟题和真题练习

通过模拟题和真题的练习，熟悉高考数学的题型和难度，提高应试能力。

4. 学会总结和归纳

在解题过程中，要学会总结和归纳，将解题方法归纳成公式或模板，提高解题效率。

5. 保持良好的心态

高考是一场心理战，要保持良好的心态，克服紧张情绪，发挥出最佳水平。