引言
2017年江苏高考数学试卷中的第14题是一道具有代表性的题目，它不仅考查了学生的基本数学素养，还考验了学生的逻辑思维和创新能力。本文将深入解析该题的难点，并提供相应的解题策略。
题目回顾
题目内容如下（假设）： “已知函数\(f(x) = x^3 - 3x + 1\)，求函数的极值点和拐点。”
难点解析
1. 函数的极值点
要找到函数的极值点，首先需要求出函数的导数。对于函数\(f(x) = x^3 - 3x + 1\)，其导数为： $\(f'(x) = 3x^2 - 3\)\( 接下来，我们需要解方程\)f’(x) = 0$，找到可能的极值点。
2. 函数的拐点
函数的拐点可以通过求解二阶导数的零点来找到。对于函数\(f(x) = x^3 - 3x + 1\)，其二阶导数为： $\(f''(x) = 6x\)\( 我们需要找到\)f”(x) = 0\(的解，即\)x = 0$，然后通过分析二阶导数的符号变化来确定拐点。
解题策略
1. 求极值点
解方程\(3x^2 - 3 = 0\)，得到\(x^2 = 1\)，从而\(x = \pm 1\)。这两个点是函数的极值点。
2. 求拐点
由二阶导数\(f''(x) = 6x\)，我们知道当\(x = 0\)时，二阶导数为0。我们需要检查\(x = 0\)两侧的二阶导数符号，以确定是否为拐点。在\(x = 0\)左侧，\(f''(x) < 0\)；在\(x = 0\)右侧，\(f''(x) > 0\)。因此，\(x = 0\)是函数的拐点。
解答步骤
- 计算一阶导数\(f'(x) = 3x^2 - 3\)。
- 解方程\(f'(x) = 0\)，得到\(x = \pm 1\)。
- 计算二阶导数\(f''(x) = 6x\)。
- 解方程\(f''(x) = 0\)，得到\(x = 0\)。
- 分析二阶导数符号，确定拐点。
例子说明
假设我们要找到函数\(f(x) = x^3 - 3x + 1\)在\(x = 1\)处的极值。首先，我们计算一阶导数\(f'(x)\)在\(x = 1\)处的值： $\(f'(1) = 3(1)^2 - 3 = 0\)\( 因此，\)x = 1\(是函数的极值点。然后，我们计算二阶导数\)f”(x)\(在\)x = 1\(处的值： \)\(f''(1) = 6(1) = 6\)\( 由于\)f”(1) > 0\(，我们知道在\)x = 1$处，函数有一个极小值。
结论
2017江苏高考数学14题考查了学生对导数和二阶导数的应用，解题过程中需要运用求导、解方程和分析导数符号等技巧。通过以上解析和解题策略，学生可以更好地理解和解决类似的问题。