一、题目概述
2017年江苏高考数学试卷中的第17题，是一道典型的数学问题。该题结合了函数、数列和不等式等多个数学知识点，考察了学生的综合运用能力和解题技巧。
二、解题思路
1. 题目理解
首先，要仔细阅读题目，理解题意。本题中，我们需要求出函数\(f(x)=x^3-3x^2+2x\)在区间\([0,+\infty)\)上的最大值。
2. 寻找解题切入点
由于题目涉及到函数的最大值问题，我们可以考虑使用导数来求解。具体来说，我们需要求出函数的导数，并找到导数为0的点，即可能的极值点。
3. 求导
对函数\(f(x)=x^3-3x^2+2x\)求导，得到导函数\(f'(x)=3x^2-6x+2\)。
4. 求导数为0的点
令\(f'(x)=0\)，解得\(x_1=1\)和\(x_2=\frac{2}{3}\)。由于\(x_2\)不在区间\([0,+\infty)\)内，我们只需考虑\(x_1=1\)。
5. 判断极值
为了判断\(x_1=1\)处的极值是最大值还是最小值，我们可以考虑使用二阶导数。计算\(f''(x)=6x-6\)，代入\(x=1\)得到\(f''(1)=0\)。由于\(f''(x)\)在\(x=1\)处为0，我们需要进一步分析。
6. 分析二阶导数
由于\(f''(x)\)在\(x=1\)处为0，我们可以考虑函数在\(x=1\)附近的导数符号。当\(x<1\)时，\(f''(x)<0\)；当\(x>1\)时，\(f''(x)>0\)。这表明\(f(x)\)在\(x=1\)处取得局部最小值。因此，我们只需考虑\(x=1\)两侧的函数值。
7. 求最大值
由于\(f(x)\)在\(x=1\)处取得局部最小值，且\(f(x)\)在区间\([0,+\infty)\)上单调递增，因此\(f(x)\)在\(x=+\infty\)时取得最大值。由于\(f(x)\)是连续函数，我们可以使用极限的概念来求解。
三、解题技巧
1. 导数法
通过求导数和导数的符号变化，我们可以判断函数的极值点，从而求解最大值或最小值。
2. 二阶导数法
使用二阶导数可以判断极值的类型，即最大值或最小值。
3. 极限法
对于一些难以直接求解的问题，我们可以使用极限的概念来求解。
四、总结
本题通过结合函数、数列和不等式等多个数学知识点，考察了学生的综合运用能力和解题技巧。通过掌握导数法、二阶导数法和极限法等解题技巧，学生可以更好地解决类似的数学问题。