引言

高考数学作为高考的重要组成部分，历来备受考生和家长的关注。2017年高考数学理安徽卷在试题难度和题型设计上都有其独特之处。本文将深入解析2017年高考数学理安徽卷中的难题，并针对这些难题提供相应的备考策略。

一、难题解析

1. 难题一：解析几何问题

题目描述：已知椭圆 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)，其中 \(a > b\)，点 \(P(x_0, y_0)\) 在椭圆上，且 \(x_0^2 + y_0^2 = 1\)。求证：直线 \(OP\) 与椭圆相切。

解析：

  • 利用椭圆的定义和点 \(P\) 在椭圆上的条件，可以列出方程组。
  • 通过消元，可以得到关于 \(x_0\) 或 \(y_0\) 的二次方程。
  • 利用判别式 \(\Delta = 0\) 来证明直线 \(OP\) 与椭圆相切。

代码示例（Python）：

import sympy as sp

x, y, a, b = sp.symbols('x y a b')
x0, y0 = sp.symbols('x0 y0')

# 椭圆方程
ellipse_eq = sp.Eq(x**2 / a**2 + y**2 / b**2, 1)
# 点P在椭圆上
point_on_ellipse = sp.Eq(x0**2 + y0**2, 1)
# 直线OP方程
line_eq = sp.Eq(y, (y0 / x0) * x)

# 消元求解
solution = sp.solve([ellipse_eq, point_on_ellipse, line_eq], (x, y))
print(solution)

2. 难题二：数列问题

题目描述：已知数列 \(\{a_n\}\) 满足 \(a_1 = 1\)，\(a_{n+1} = a_n + \frac{1}{a_n}\)，求 \(\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}\)。

解析：

  • 通过递推关系式，可以推导出数列 \(\{a_n\}\) 的通项公式。
  • 利用极限的性质，可以求解出数列的极限。

代码示例（Python）：

import sympy as sp

n = sp.symbols('n')
a_n = sp.Function('a_n')

# 定义数列的递推关系
a_n_recurrence = sp.Eq(a_n(n + 1), a_n(n) + 1 / a_n(n))

# 定义数列的初始值
a_n(1) = 1

# 求解数列的通项公式
a_n_general = sp.solve(a_n_recurrence, a_n(n))

# 求极限
limit = sp.limit(a_n_general / a_n(n), n, sp.oo)
print(limit)

3. 难题三：概率问题

题目描述：袋中有5个红球和3个蓝球，随机取出3个球，求取出的球都是红球的概率。

解析：

  • 利用组合数计算取出3个红球的不同取法。
  • 利用概率的定义，计算所求概率。

代码示例（Python）：

from math import comb

# 红球和蓝球的数量
red_balls, blue_balls = 5, 3
# 总共取出的球的数量
total_balls = 3

# 计算概率
probability = comb(red_balls, total_balls) / comb(red_balls + blue_balls, total_balls)
print(probability)

二、备考策略

1. 熟悉高考数学大纲和题型

  • 确保对高考数学大纲有深入的理解，包括各个部分的知识点和考察要求。
  • 熟悉各种题型，特别是常见题型和难题型的解题方法。

2. 加强基础知识的学习

  • 夯实数学基础知识，特别是代数、几何、三角、概率等基础学科。
  • 定期复习和巩固基础知识，避免出现遗忘或混淆。

3. 做题实战，总结经验

  • 通过大量做题来提高解题速度和准确率。
  • 对错题和难题进行总结，分析错误原因，总结解题经验。

4. 保持良好的心态

  • 高考前保持良好的心态，避免过度紧张和焦虑。
  • 合理安排学习和休息时间，保证充足的睡眠。

通过以上分析和策略，相信考生能够在高考数学中取得优异的成绩。