引言

高考数学作为衡量学生数学能力的重要手段，历来备受关注。2017年高考四川卷数学试题在难度和深度上都有所体现，本文将针对其中的难题进行解析，并给出相应的备考策略。

一、2017年高考四川卷数学难题解析

1. 难题一：圆锥曲线问题

题目描述：已知椭圆 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)（\(a > b > 0\)）的左、右焦点分别为 \(F_1(-c,0)\)，\(F_2(c,0)\)，点 \(P\) 在椭圆上，且 \(\angle F_1PF_2 = 60^\circ\)，求椭圆的离心率 \(e\)。

解题思路：

  • 利用椭圆的定义，结合焦点三角形的性质，可以得到 \(PF_1 + PF_2 = 2a\)。
  • 利用余弦定理，结合 \(\angle F_1PF_2 = 60^\circ\)，可以列出关于 \(c\) 的方程。
  • 解方程得到 \(c\) 的值，进而求得 \(e = \frac{c}{a}\)。

详细步骤：

  1. 根据椭圆的定义，有 \(PF_1 + PF_2 = 2a\)。
  2. 根据余弦定理，有 \(c^2 = PF_1^2 + PF_2^2 - 2 \cdot PF_1 \cdot PF_2 \cdot \cos 60^\circ\)。
  3. 将 \(PF_1 + PF_2 = 2a\) 代入上式，得到 \(c^2 = (2a - PF_2)^2 + PF_2^2 - 2 \cdot (2a - PF_2) \cdot PF_2 \cdot \frac{1}{2}\)。
  4. 化简得到 \(c^2 = 2a^2 - 2aPF_2 + PF_2^2\)。
  5. 将 \(c^2 = a^2 - b^2\) 代入上式，得到 \(a^2 - b^2 = 2a^2 - 2aPF_2 + PF_2^2\)。
  6. 整理得到 \(PF_2^2 - 2aPF_2 + a^2 - b^2 = 0\)。
  7. 解得 \(PF_2 = a - \sqrt{a^2 - b^2}\) 或 \(PF_2 = a + \sqrt{a^2 - b^2}\)。
  8. 由于 \(PF_1 + PF_2 = 2a\)，故 \(PF_1 = 2a - PF_2\)。
  9. 将 \(PF_1\) 和 \(PF_2\) 的值代入 \(PF_1 + PF_2 = 2a\)，得到 \(2a - \sqrt{a^2 - b^2} + a + \sqrt{a^2 - b^2} = 2a\)。
  10. 化简得到 \(e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)。

2. 难题二：数列问题

题目描述：已知数列 \(\{a_n\}\) 的前 \(n\) 项和为 \(S_n\)，且 \(S_n = 3^n - 1\)，求 \(\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{S_n}\)。

解题思路：

  • 利用数列的递推关系，可以得到 \(a_n = S_n - S_{n-1}\)。
  • 利用极限的性质，可以得到 \(\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{S_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{S_n - S_{n-1}}{S_n}\)。
  • 利用 \(S_n = 3^n - 1\)，可以得到 \(\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{S_n}\) 的值。

详细步骤：

  1. 根据数列的递推关系，有 \(a_n = S_n - S_{n-1}\)。
  2. 根据极限的性质，有 \(\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{S_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{S_n - S_{n-1}}{S_n}\)。
  3. 将 \(S_n = 3^n - 1\) 代入上式，得到 \(\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{S_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{3^n - 1 - (3^{n-1} - 1)}{3^n - 1}\)。
  4. 化简得到 \(\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{S_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{3^n - 3^{n-1}}{3^n - 1}\)。
  5. 化简得到 \(\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{S_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 \cdot 3^{n-1}}{3^n - 1}\)。
  6. 当 \(n \to \infty\) 时，分母 \(3^n - 1\) 趋近于 \(3^n\)，故 \(\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{S_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 \cdot 3^{n-1}}{3^n} = \frac{2}{3}\)。

二、备考策略

1. 熟悉考试大纲和题型

在备考过程中，首先要熟悉考试大纲和题型，了解高考数学的考查范围和重点。

2. 基础知识要扎实

高考数学试题难度较大，但很多题目都源于基础知识。因此，在备考过程中，要注重基础知识的学习和巩固。

3. 做好练习题

通过做练习题，可以检验自己的学习效果，并提高解题能力。在练习过程中，要注意总结解题方法和技巧。

4. 注重解题思路和步骤

在解题过程中，要注重解题思路和步骤，确保解题过程清晰、简洁。

5. 做好时间管理

高考数学考试时间有限，要在有限的时间内完成所有题目。在备考过程中，要注重时间管理，提高解题速度。

结语

2017年高考四川卷数学试题在难度和深度上都有所体现，通过对难题的解析和备考策略的总结，希望对考生有所帮助。在备考过程中，要注重基础知识的学习和巩固，提高解题能力，做好时间管理，相信考生一定能够在高考中取得优异的成绩。